$\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}} \leq 1$
#1
Đã gửi 19-10-2012 - 12:55
$\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}} \leq 1$
- zookiiiiaa yêu thích
#2
Đã gửi 19-10-2012 - 13:17
Một bài tập không khó và nó cũng từng xuất hiện trên toán học tuổi trẻ.Có hơn 1 cách làm bài này và hiển nhiên ở mỗi cách lại có 1 bài toán tổng quát khác nhau.Mình xin đưa ra một các các bạn tự tìm những cách còn lại hoặc tham khảo trên tạp chí nhéCho a,b,c>0 TM abc=1 CMR:
$A=\frac{1}{\sqrt{a^3+2b^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+2c^3+6}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+2a^3+6}} \leq 1$
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì ta có
$$A^2 \le 3(\frac{1}{a^3+2b^3+6}+\frac{1}{b^3+2c^3+6}+\frac{1}{c^3+2a^3+6}) \le \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$$
Từ đây ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi alex_hoang: 19-10-2012 - 13:18
- HÀ QUỐC ĐẠT, minhson95, Poseidont và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 19-10-2012 - 22:35
Một bài tập không khó và nó cũng từng xuất hiện trên toán học tuổi trẻ.Có hơn 1 cách làm bài này và hiển nhiên ở mỗi cách lại có 1 bài toán tổng quát khác nhau.Mình xin đưa ra một các các bạn tự tìm những cách còn lại hoặc tham khảo trên tạp chí nhé
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ thì ta có
$$A^2 \le 3(\frac{1}{a^3+2b^3+6}+\frac{1}{b^3+2c^3+6}+\frac{1}{c^3+2a^3+6}) \le \frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$$
Từ đây ta có điều phải chứng minh
Sao $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$ hả mọi người?
- minhson95 yêu thích
#4
Đã gửi 20-10-2012 - 00:11
Thay abc=1 vào biểu thức thôi mà.Sao $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$ hả mọi người?
#5
Đã gửi 20-10-2012 - 08:55
Vì $abc=1$ nên ta có thể đặt: $a=\dfrac{x}{y},b=\dfrac{y}{z},c=\dfrac{z}{x}$. Khi đó:Sao $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$ hả mọi người?
$\sum \dfrac{1}{\dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{z}+1}=\sum \dfrac{z}{x+y+z}=1$
#6
Đã gửi 20-10-2012 - 12:29
Sao $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1$ hả mọi người?
Ta có $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{abc}{ab+ab^2c+abc}+\frac{abc}{ca+a+abc}+\frac{1}{bc+c+1}=\frac{c}{bc+c+1}+\frac{bc}{bc+c+1}+\frac{1}{bc+c+1}=1$
$Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 20-10-2012 - 12:30
- zookiiiiaa và tnt1204 thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh