Đến nội dung

Hình ảnh

[MO 2013] Trận 9 - Hình học


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 19/10/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 9 có 26 toán thủ tham gia nên sau trận này, 02 toán thủ ít điểm nhất sẽ bị loại.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

4) Từ trận 8, điều lệ có sự thay đổi:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#2
TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Bài toán:
Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ cắt nhau tại $O$ và điểm $A$ không thuộc $d_{1}, d_{2}$. Một đường tròn $(C)$ đi qua $A, O$, cắt lại $d_{1}, d_{2}$ tại $M_{1}, M_{2}$ theo thứ tự đó.
Chứng minh rằng: trung điểm của đoạn thẳng $M_{1} M_{2}$ luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định khi $(C)$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$ và $O$
1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...

#3
nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết

Bài toán:
Trong mặt phẳng cho 2 đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ cắt nhau tại $O$ và điểm $A$ không thuộc $d_{1}, d_{2}$. Một đường tròn $( C )$ đi qua $A, O$, cắt lại $d_{1}, d_{2}$ tại $M_{1}, M_{2}$ theo thứ tự đó.
Chứng minh rằng: trung điểm của đoạn thẳng $M_{1} M_{2}$ luôn nằm trên 1 đường thẳng cố định khi $( C )$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A$ và $O$

Hình đã gửi
Không mất tính tổng quát, giả sử trên mặt phẳng có hệ trục tọa độ $Oxy$ mà $O(0,0)$ và $A(2,0)$
Giả sử PT đường thẳng $d_1$ là $y=a x$, PT đường thẳng $d_2$ là $y=b x$ (vì $d_1,d_2$ đi qua $O(0,0)$)
Khi đó đường tròn $( C )$ có dạng phương trình tổng quát:
$(x-1)^2+(y-c)^2=1+c^2$
Giao điểm của $( C )$ với $d_1$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
(x-1)^2+(y-c)^2=1+c^2\\
y=ax
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{matrix}
x((1+a^2)x-2-2ac)=0\\
y=ax
\end{matrix}\right.

$$
Tương đương với $(x,y)=(0,0)$ hoặc $\left(\frac{2+2ac}{1+a^2},\frac{a(2+2ac)}{1+a^2} \right)$
Mà $M_1 \neq O$ nên $M_1=\left(\frac{2+2ac}{1+a^2},\frac{a(2+2ac)}{1+a^2} \right)$

Chứng minh tương tự với $M_2$ ta được $M_2=\left(\frac{2+2bc}{1+b^2},\frac{b(2+2bc)}{1+b^2} \right)$
Suy ra tọa độ trung điểm $I$ của $M_1M_2$ là: $\left(\dfrac{2+a+b+a^2+b^2+ab^2+ba^2}{(1+a^2)(1+b^2)}, \dfrac{a+b+a^2+b^2+ab^2+ba^2+2a^2b^2}{(1+a^2)(1+b^2)} \right)$
Xét đường thẳng: $(a^2+2a^2b^2+b^2)x-(a+b)(ab+1)y-(a-b)^2=0$
Khi ấy $I$ thỏa mãn phương trình đường thẳng này ! X
Mà do $d_1,d_2,A,O$ không đổi nên đường thẳng $(a^2+2a^2b^2+b^2)x-(a+b)(ab+1)y-(a-b)^2=0$ cố định.
Vậy với mọi vị trí của đường tròn $( C )$ thì trung điểm của $M_1M_2$ luôn luôn thuộc đường thẳng $(a^2+2a^2b^2+b^2)x-(a+b)(ab+1)y-(a-b)^2=0$ cố định.
____________________________________________
Từ đó ta được trung điểm của $M_1M_2$ luôn luôn thuộc đường thẳng cố định.

Nếu tọa độ $I$ thỏa phương trình đường thẳng em đưa ra thì hãy viết ra, đừng nói trống không vậy :)
D-B=17.4h
E=9
F=0
S=44.3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 23-10-2012 - 19:51

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#4
Trần Đức Anh @@

Trần Đức Anh @@

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 286 Bài viết
Gọi $(K)$ là đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc với $d_1$ tại $O$ và $(J)$ là đường tròn đi qua $A$ tiếp xúc với $d_{2}$ tại $O$. Đường tròn $(K)$ cắt lại $d_{2}$ tại $B$, đường tròn $(J)$ cắt lại $d_{1}$ tại $C$, dẫn đến $B$, $C$ cố định. Gọi $D$, $E$ theo thứ tự là trung điểm của $OC$, $OB$. Bởi vì $B$, $C$, $O$ cố định nên rõ ràng $D$, $E$ cố định.
Ta có: $OM_{1}$ tiếp xúc với $(K)$ tại $O$ nên:
$(OA,OM_{1})\equiv (BO,BA)\equiv (BM_{2};BA)$ $(mod\pi)$ (1)
Chú ý rằng: $M_{1}$, $M_{2}$, $O$, $A$ đồng viên nên $(M_{1}A;M_{1}O)\equiv(M_{2}A;M_{2}O)\equiv(M_{2}A;M_{2}B)$ $(mod\pi)$ (2)
Từ (1)(2) suy ra $\Delta OM_{1}A\sim\Delta BM_{2}A$. Do đó: $\frac{OM_{1}}{BM_{2}}=\frac{M_{1}A}{M_{2}A}$ (3)
Tương tự: $\frac{M_{1}A}{M_{2}A}=\frac{CM_{1}}{OM_{2}}$ (4)
Từ (3)(4) suy ra: $\frac{CM_{1}}{OM_{1}}=\frac{OM_{2}}{BM_{2}}$
Từ đó suy ra: $\frac{DO}{DM_{1}}=\frac{EO}{EM_{2}}$.
Đặt $Q=DE\cap M_{1}M_{2}$. Sử dụng định lí Menelaus ta có:
$\frac{DO}{DM_{1}}\frac{QM_{1}}{QM_{2}}\frac{EM_{2}}{EO}=1$ suy ra: $\frac{QM_{1}}{QM_{2}}=1$ suy ra $Q$ là trung điểm $M_{1}M_{2}$. Từ đó ta có đpcm.

D-B=18.1h
E=10
F=0
S=46.9

Hình gửi kèm

  • untitled1.PNG

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 23-10-2012 - 19:52

Chữ ký spam! Không cần xoá!

#5
davildark

davildark

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết
Hình đã gửi
Trong bài làm em xin đặt lại các điểm cho dễ làm $M_{1}=M$ $M_{2}=N$
Gọi I là trung điểm MN
Vẽ đường tròn đi qua O , A và tiếp xúc với $d_{1}$ . ĐƯờng tròn này cắt $d_{2}$ tại B
Tương tự C là giao điểm của đường tròn qua O , A tiếp xúc với $d_{2}$ và $d_{1}$
Gọi D là trung điểm OB . E là trung điểm OC
Vì B,C cố định nên D,E cũng cố định . Ta sẽ CM I nằm trên đường DE cố định
Thật vậy
Ta có $\widehat{AMN}=\widehat{AON}=\widehat{ABO}$ và $\widehat{ANM}=\widehat{AOB}$
$\Rightarrow \bigtriangleup AMN\sim \bigtriangleup ABO$
$\Rightarrow \frac{MN}{OB}=\frac{AM}{AB}\Rightarrow \frac{IM}{BD}=\frac{AM}{AB} \Rightarrow \bigtriangleup AIM \sim \bigtriangleup ADB$
$\Rightarrow \widehat{AIM}=\widehat{ADB}=\widehat{ADM}$
Vậy tứ giác AIDM nội tiếp
Tương tự ta cũng có tứ giác AINE nội tiếp . Khi đó
$\widehat{AIE}=\widehat{ANE}=\widehat{AMO}=\widehat{AMD}$
Mà $\widehat{AMD}+\widehat{DIA}=180^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{AIE}+\widehat{DIA}=180^{\circ}$
$\Rightarrow$ D,I,E thẳng hàng
Vậy I di chuyển trên DE cố định

Nên dùng góc định hướng để tổng quát hơn.
D-B=27.9h
E=9
F=0
S=39

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 23-10-2012 - 19:53


#6
Thái Vũ Hoàng Anh

Thái Vũ Hoàng Anh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
Xét hệ trục tọa độ Oxy vơi Ox là tia OA. Gọi A(0;2) thì tâm I củađường tròn đi qua A và O thuộc đường trung trực của OA là $(\Delta): x=1$. Gọi tọa độ của I là (1;t).
Vì 2 đường thẳng $(d_{1}) ; (d_{2})$ đi qua O nên có phương trình đường thẳng là:
$(d_{1}):y=ax$ và $(d_{2}):y=bx$ với $a; b$ là hằng số
Xét đường tròn © tâm I đi qua O và A có phương trình là:
$(x-1)^{2}+(y-t)^{2}=t^{2}+1 \Leftrightarrow x^{2}-2x+y^{2}-2ty=0$
Phương trình hoành độ giao điểm của © và $(d_{1})$ là:
$x^{2}-2x+(ax)^2-2atx=0
\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=\frac{2+2at}{a^{2}+1}
\Rightarrow$ Hoành độ điểm M_{1} là giao điểm thứ 2 khác O của © và $(d_{1})$ là $x_{M_{1}}=\frac{2+2at}{a^{2}+1}$
mà $M_{1}$ thuộc $(d_{1})$ nên $M_{1}(\frac{2+2at}{a^{2}+1};\frac{2a+2a^{2}t}{a^{2}+1})$
Hoàn toàn tương tự ta có : $M_{2}(\frac{2+2bt}{b^{2}+1};\frac{2b+2b^{2}t}{b^{2}+1})$
$\Rightarrow$ Tọa độ trung điểm N của $M_{1}M_{2}$ là
$\left\{\begin{matrix}x_{N}=\frac{1+1at}{a^{2}+1}+\frac{1+1bt}{b^{2}+1} \\ y_{N}=\frac{a+a^{2}t}{a^{2}+1}+\frac{b+b^{2}t}{b^{2}+1} \end{matrix}\right.$
Từ hệ trên rút t theo x,a,b từ phương trình thứ 1 rồi thay t vào phương trình thứ 2 ta được:
$y_{N}=\alpha x_{N}+\beta$ với $\alpha, \beta$ là các hằng số theo a và b
Vậy điểm N di động trên đường thẳng $y=\alpha x+\beta$ cố định

D-B=28.5h
E=10
F=0
S=41.7

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 23-10-2012 - 19:54


#7
TRONG TAI

TRONG TAI

    Trọng tài MO2014

  • Thành viên
  • 38 Bài viết
Lời giải chính thức: (theo rocbephat)
Gọi $(K)$ là đường tròn đi qua $A$, tiếp xúc với $d_{1}$ tại O và $(J)$ là đường tròn đi qua A và tiếp xúc với $d_{2}$ tại $O$.
$(K)$ cắt lại $d_{2}$ tại $B$, $(J)$ cắt lại $d_{1}$ tại $C$. Suy ra $B, C$ cố định.
Gọi $D,E$ theo thứ tự là trung điểm của $OC, OB$. Do $B,C, O$ cố định nên $D,E$ cũng cố định.
Ta chứng minh $DE$ đi qua trung điểm $M_{1} M_{2}$.
Hình đã gửi
Do $OM_{1}$ tiếp xúc với $(K)$ nên:
\begin{equation}
\label{2.1.1}
(OA,OM_{1}) \equiv (BO,BA) \equiv (BM_{2}; BA) \pmod {\pi}
\end{equation}
Do 4 điểm $M_{1}, M_{2}, O, A$ cùng nằm trên $(C)$ nên:
\begin{equation}
\label{2.1.2}
(M_{1}A, M_{1}O) \equiv (M_{2}A, M_{2}O) \equiv (M_{2}A, M_{2}B) \pmod {\pi}
\end{equation}
\begin{equation}
\label{2.1.3}
\eqref{2.1.1},\eqref{2.1.2} \Rightarrow \vartriangle OM_{1}A \sim \vartriangle BM_{2}A \Rightarrow
\dfrac{OM_{1}}{BM_{2}} =\dfrac{M_{1}A}{M_{2}A}
\end{equation}
Tương tự
\begin{equation}
\label{2.1.4}
\vartriangle OM_{2}A \sim \vartriangle CM_{1}A \Rightarrow \dfrac{M_{1}A}{M_{2}A}=\dfrac{CM_{1}}{OM_{2}}
\end{equation}
Từ \eqref{2.1.3} và \eqref{2.1.4} suy ra $\dfrac{OM_{1}}{BM_{2}} =\dfrac{CM_{1}}{OM_{2}} \Rightarrow \dfrac{OM_{2}}{BM_{2}} =\dfrac{CM_{1}}{OM_{1}}$
Từ đó theo tính chất tỉ lệ thức , ta thu được :
$$\dfrac{CM_{1}}{CO}= \dfrac{OM_{2}}{BO} \Rightarrow \dfrac{CD}{CM_{1}}= \dfrac{OE}{OM_{2}} \Rightarrow \dfrac{DO}{DM_{1}}= \dfrac{EO}{EM_{2}}$$
Giả sử đường thẳng $DE$ cắt $M_{1} M_{2}$ tại $P$.
Áp dụng định lý Menelaus cho $\vartriangle OM_{1} M_{2}$ với cát tuyến $PDE$ ta được :
$$\dfrac{DO}{DM_{1}}.\dfrac{PM_{1}}{PM_{2}}.\dfrac{EM_{2}}{EO}=1\Rightarrow PM_{1} = PM_{2}$$.
Suy ra $P$ là trung điểm $M_{1} M_{2}$. Vậy bài toán đã được chứng minh.
1) Hãy tham gia các cuộc thi dành cho THCS, THPT, Olympic
2) Tham gia gameshow toán học PSW tại đây
3) Học gõ công thức toán tại:
http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
4) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh