Đề thi chọn HSG tỉnh Đồng Nai vòng 1 năm học 2012-2013
Câu 1.
Cho hàm số $y=x^2(x^2+a)$; với $x$ là biến số thực và $a$ là tham số thực. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi $a<-2$.
Câu 2.
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} (x+y)(3xy-4\sqrt{x})=-2\\ (y+x)(3xy+4\sqrt{y})=2\end{cases}$
Câu 3.
Giải phương trình: $(3-\cos 4x)(\sin x-\cos x)=2$.
Câu 4.
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của:
\[P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\]
Câu 5.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết $AB=a, BC=2a, SA=a\sqrt{3}$ (với $a \in \mathbb{R}, a>0$). Gọi $M, N$ là trung điểm của $SB$ và $AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $BN$.
Câu 6.
Cho $p, k$ là các số nguyên dương thoả $p$ là số nguyên tố và $2 \le k \le p-1$. Chứng minh rằng $C_{p+1}^{k}$ chia hết cho $p$.