Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn HSG tỉnh Đồng Nai vòng 1 năm học 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 19-10-2012 - 19:57

Đề thi chọn HSG tỉnh Đồng Nai vòng 1 năm học 2012-2013



Câu 1.
Cho hàm số $y=x^2(x^2+a)$; với $x$ là biến số thực và $a$ là tham số thực. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi $a<-2$.

Câu 2.
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} (x+y)(3xy-4\sqrt{x})=-2\\ (y+x)(3xy+4\sqrt{y})=2\end{cases}$

Câu 3.
Giải phương trình: $(3-\cos 4x)(\sin x-\cos x)=2$.

Câu 4.
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của:
\[P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\]
Câu 5.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết $AB=a, BC=2a, SA=a\sqrt{3}$ (với $a \in \mathbb{R}, a>0$). Gọi $M, N$ là trung điểm của $SB$ và $AD$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $BN$.

Câu 6.
Cho $p, k$ là các số nguyên dương thoả $p$ là số nguyên tố và $2 \le k \le p-1$. Chứng minh rằng $C_{p+1}^{k}$ chia hết cho $p$.

#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-10-2012 - 21:22

Câu 4.
Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả $a^2+b^2+c^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của:
\[P=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\]

1 bài bất đẳng thức hay và đơn giản của tác giả Phan Thành Nam :)
Ta sẽ chứng minh:
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$
Do đây là 1 bất đẳng thức hoán vị vòng quanh nên ta sẽ xét 2 trường hợp:
$\bullet$ Nếu $a\geq b\geq c$.Lúc đó hiển nhiên ta có điều phải chứng minh:
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 0\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$
$\bullet$ Nếu $a\leq b\leq c$.Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$4(a+b+c)(b-c)(c-b)(c-a)\leq \left[(a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)\right]^2$$
Vậy nên ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)$$
$$\Leftrightarrow a(2a+2c-b)\geq 0$$
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $b=(\sqrt{2}-1)c,a=0$ và các hoán vị $\square$

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#3 donghaidhtt

donghaidhtt

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 494 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị
  • Sở thích:Ngắm gái và ... ngắm gái! :P

Đã gửi 19-10-2012 - 21:23

Câu 2.
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} (x+y)(3xy-4\sqrt{x})=-2 (1)\\ (y+x)(3xy+4\sqrt{y})=2 (2)\end{cases}$
Câu 3.
Giải phương trình: $(3-\cos 4x)(\sin x-\cos x)=2$.

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$
+Nhận thấy $x+y=0$ không thoả mãn hệ phương trình
+Xét $x+y\neq 0$
- Lấy $(2)-(1)$ ta có $(x+y).4.(\sqrt{x}+\sqrt{y})=4\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=\dfrac{1}{x+y} (*)$
- Lấy $(2)+(1)$ ta có $(x+y)(6xy-4\sqrt{x}+4\sqrt{y})=0\Leftrightarrow 4\sqrt{x}-4\sqrt{y}=6xy\Leftrightarrow \sqrt{x}-\sqrt{y}=\dfrac{3xy}{2}(**)$
- Lấy $(*)\times (**)$ ta có: $x-y=\dfrac{3xy}{2(x+y)}\Leftrightarrow 2x^2-2y^2-3xy=0\Leftrightarrow (x-2y)(2x+y)=0 \Leftrightarrow x=2y $

Loại trường hợp $2x+y=0$ do xét $x+y\neq 0$ và điều kiện $\left\{\begin{matrix} x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.$
+$x=2y$ thay vào $(**)$ ta có $4\sqrt{2y}-4\sqrt{y}=12y^{2}\Leftrightarrow 3y^2=\sqrt{y}(\sqrt{2}-1)\Leftrightarrow 9y^4=y(3-2\sqrt{2})\Leftrightarrow \begin{bmatrix} y=0\\ y=\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{bmatrix}\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x=2\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{bmatrix}$
Chỉ có $(x;y)=\begin{pmatrix} 2\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}};\sqrt[3]{\dfrac{3-2\sqrt{2}}{9}} \end{pmatrix}$ là nghiệm duy nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 19-10-2012 - 21:40


#4 Spin9x

Spin9x

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

Đã gửi 20-10-2012 - 21:53

Bài khoảng cách cũng không khó

Đáp án:
$\sqrt{\frac{3}{7}}$
Tôi ơi ! Cố gắng nhiều nhé !

Cố gắng vào đại học nhé !

"Thà để giọt mồ hôi rơi trên trang sách còn hơn để giọt nước mắt rơi cuối mùa thi. "

#5 cool hunter

cool hunter

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:lịch sử toán học

Đã gửi 21-10-2012 - 21:23

1 bài bất đẳng thức hay và đơn giản của tác giả Phan Thành Nam :)
Ta sẽ chứng minh:
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$

Do đây là 1 bất đẳng thức hoán vị vòng quanh nên ta sẽ xét 2 trường hợp:
$\bullet$ Nếu $a\geq b\geq c$.Lúc đó hiển nhiên ta có điều phải chứng minh:
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 0\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$
$\bullet$ Nếu $a\leq b\leq c$.Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$4(a+b+c)(b-c)(c-b)(c-a)\leq \left[(a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)\right]^2$$
Vậy nên ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2\geq (a+b+c)(b-a)+(c-a)(c-b)$$
$$\Leftrightarrow a(2a+2c-b)\geq 0$$
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $b=(\sqrt{2}-1)c,a=0$ và các hoán vị $\square$

Sao lại nghĩ ra đc bđt $$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$.
Cho t biết cách suy luận đc k.

Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng

Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công

                                                                 


#6 Alexman113

Alexman113

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 666 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-10-2012 - 12:32

Câu 3.
Giải phương trình: $(3-\cos 4x)(\sin x-\cos x)=2\,\,\,\,\,(*)$.


Phương trình $(*)\Leftrightarrow\left(2+2\sin^22x\right)\left(\sin x-\cos x\right)=2\\\Leftrightarrow\left(1+\sin^22x\right)\left(\sin x-\cos x\right)=1$

Đặt $\sin x-\cos x=t,\,\left|t\right|\leq\sqrt{2}\Rightarrow \sin2x=1-t^2$. Phương trình trên viết lại:
$$\left(1+\left(1-t^2\right)^2\right)t=1\\\Leftrightarrow t^5-2t^3+2t-1=0\\ \Leftrightarrow \left(t-1\right)\left(t^4+t^3-t^2-t+1\right)=0\\\Leftrightarrow t=1\\\mbox{ (vì:$t^4+t^3-t^2-t+1=\left(t^2+\dfrac{t}{2}-\dfrac{3}{4}\right)^2+\left(\dfrac{t}{2}-\dfrac{1}{4}\right)^2+\dfrac{3}{8}>0$)}\\ \Leftrightarrow \sin x-\cos x=1\\\Leftrightarrow \sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{array}\right. \,\,,k\in\mathbb{Z}$$


Phương trình có hai họ nghiệm là: $x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$ và $x=\pi+k2\pi\\\,,k\in\mathbb{Z}$

KK09XI~ Nothing fails like succcess ~

#7 mekjpdoj

mekjpdoj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Yên

Đã gửi 22-10-2012 - 23:41

Câu 5)
sau khi vẽ hình, bắt đầu Dựng hình như sau
trong mp(SAB) dựng tia Bx // tia AS
kéo dài AM cắt Bx tại Q. dễ dàng chứng minh được QB=SA và M là trung điểm QB

bây giờ đề bài đã cho trở thành như sau

"Cho tứ diện Q.ABN với đáy ABN là tam giác vuông cân tại A. AN=AB=a, QB vuông mp(ABN) vá QB= $a\sqrt{3}$
tính khoảng cách giữa QA và BN."

Tính như sau
lấy I trung điểm BN => AI vuông BN (AI ở đây chỉ phục vụ cho việc tính toán nên có thể kẻ sau khi dựng hình hoàn tất)
kẻ tia Ay // NB
kẻ BK vuông Ay tại K ( =>BK= AI)
ta chứng minh được AK vuông mp(QBK)
kẻ BH vuông QK
từ đó ta có BH vuông mp(QAK)
mà AK // BN hay BN // (QAK)
nên d(BN, AM)= d(BN, AQ) = d( BN, (QAK)) = d( B, (QAK))= BH
mà BH là đường cao trong tam giác QBK vuông tại B, nên ta tính được BH 1 cách dễ dàng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mekjpdoj: 23-10-2012 - 22:40


#8 quoctruong1202

quoctruong1202

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tha phương

Đã gửi 23-10-2012 - 09:19

Sao lại nghĩ ra đc bđt $$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$.
Cho t biết cách suy luận đc k.

Xin nhờ bạn giải thích cho mọi người biết đi, tớ đang rất tò mò!
Hình đã gửi

#9 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 861 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sao Hỏa
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 23-10-2012 - 21:51

Câu 1.
Cho hàm số $y=x^2(x^2+a)$; với $x$ là biến số thực và $a$ là tham số thực. Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi $a<-2$.


$y=x^2(x^2+a)$

TXĐ: $D=\mathbb{R}$

$y=x^4+ax^{2}$

$\Rightarrow y'=4x^3+2ax$

$y'=0\Leftrightarrow 4x^3+2ax=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0\\ x^{2}=\frac{-a}{2} \end{bmatrix}$

Để hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow a<0$

Khi đó toạ độ 3 điểm cực trị là $\left\{\begin{matrix} A(0;0)\\ B(\sqrt{\frac{-a}{2}};\frac{-a^{2}}{4})\\ C(-\sqrt{\frac{-a}{2}};\frac{-a^{2}}{4}) \end{matrix}\right.$

Ta có $\Delta ABC$ luôn cân tại $A$

Để $\Delta ABC$ nhọn $\Leftrightarrow 0^{o}<\widehat{A}<90^{o}$

Gọi $I$ trung điểm $BC\Rightarrow I(0;\frac{-a^{2}}{4})$

Khi đó, $\Delta ABC$ nhọn $\Leftrightarrow 0^{o}<\widehat{BAI}<45^{o}$

$\Leftrightarrow \cos 0^{o}>\cos \widehat{BAI}>\cos 45^{o}$

$\Leftrightarrow 1>\frac{AI}{AB}>\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 1>\frac{AI^{2}}{AB^{2}}>\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 1>\frac{\frac{a^{4}}{16}}{\frac{-a}{2}+\frac{a^{4}}{16}}>\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 1>\frac{a^{4}}{a^{4}-8a}>\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow a^{4}-8a>a^{4}>\frac{1}{2}(a^{4}-8a)$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} a<-2\\ a>0 \end{bmatrix}$

So điều kiện, nhận $a<-2$

Vậy $a<-2$ thì đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn.

Đôi khi ngâm cứu Toán thấy cũng phê


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#10 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-10-2012 - 12:14

Sao lại nghĩ ra đc bđt $$(a^2+b^2+c^2)^2\geq 4(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$$.
Cho t biết cách suy luận đc k.

Xin nhờ bạn giải thích cho mọi người biết đi, tớ đang rất tò mò!

Mình làm nhiều nên những bài thế này mình thuộc hết rồi @@~

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#11 hienbn

hienbn

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết
  • Đến từ:bắc ninh
  • Sở thích:toán và cơ

Đã gửi 05-03-2013 - 12:07

Mình làm nhiều nên những bài thế này mình thuộc hết rồi @@~

Bất đẳng thức không đối xứng thường là khó. Mình cũng thấy bài này hay, nhưng mình nghĩ lời giải vẫn không tự nhiên lắm. Có bạn nào có cách lượng giác hóa bài này không vậy? Nếu Giả sử a<b<c đặt a=sinx; b=cosx.siny; c=cosx.cosy. thì sẽ có x=0, và sin4y=1. Mình cũng chưa giải được, có bạn nào có cách dùng lượng giác không vậy?
I am happy with my works for I could find math on it.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh