Chủ đề này có 1 trả lời

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Tìm tất cả các hàm số $f(x): R \to R $ thoả mãn :

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y \forall x,y \in R $

[dark templar]

Tìm tất cả các hàm số $f(x): R \to R $ thoả mãn :

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\cos y \forall x,y \in R (*)$

Làm đại cái vậy,không giỏi phần này lắm
Cho $x=\frac{\pi}{2}$,ta thu được:
$$f\left(\frac{\pi}{2}+y \right)+f\left(\frac{\pi}{2}-y \right)=2f\left(\frac{\pi}{2} \right)\cos{y};\forall y \in \mathbb{R}(1)$$
Trong (1),cho $y=z-\frac{\pi}{2};z \in \mathbb{R}$:
$$f(z)+f(\pi-z)=2f\left(\frac{\pi}{2} \right)\sin{z};\forall z \in \mathbb{R}(2)$$
Trong (*),cho $x=z-\frac{\pi}{2};y=\frac{\pi}{2}$,ta có:
$$f(z)+f(z-\pi)=0;\forall z \in \mathbb{R}(3)$$
Trong (*),lại cho $x=0;y=z-\pi$,ta thu được:
$$f(z- \pi)+f(\pi-z)=-2f(0)\cos{z};\forall z \in \mathbb{R}(4)$$
Lấy (2) cộng với (3),ta có:
$$2f(z)+f(\pi-z)+f(z-\pi)=2f\left(\frac{\pi}{2} \right)\sin{z};\forall z \in \mathbb{R}$$
Thay (4) vào:
$$f(z)=f(0)\cos{z}+f\left(\frac{\pi}{2} \right)\sin{z};\forall z \in \mathbb{R}$$
Nếu ta đặt $f(0)=a=\const;f\left(\frac{\pi}{2} \right)=b=\const$ thì ta có kết quả:
$$f(x)=a\cos{x}+b\sin{x};\forall x \in \mathbb{R}$$
Thử lại ta thấy đúng.

P/s:Ta cũng có 1 bài toán với cách làm gần tương tự:
Bài toán: Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+y)-f(x-y)=2\cos{2x}f(y);\forall x,y \in \mathbb{R}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 20-10-2012 - 14:30