Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm tất cả các bộ số (x,y,z) để: $A=x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)$ là số chính phương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 20-10-2012 - 17:52

Tìm tất cả các bộ số $(x,y,z)$ để: $A=x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 20-10-2012 - 17:52


$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 20-10-2012 - 18:27

Tìm tất cả các bộ số $(x,y,z)$ để: $A=x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)$ là số chính phương.

Một bài toán hay, nhưng nó thành xấu khi bạn post vô tổ chức như vậy, không có tí đk gì của $(x,y,z)$ cả ?
Giải như sau:
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-2x+2y=t^2$$
$$x^2+2x(y+z-1)+(y+z)^2+2y=t^2$$
$$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$
$$-4y-2z-1=u^2$$
$$\Rightarrow -4y-2z+1\geq 0$$
Và từ đó suy ra $-2(2y+z)+1$
Khi ấy $x_1,x_2=-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương
Vậy mọi nghiệm là $\boxed{(x,y,z)=\left(-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1},y,z\right)}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương

P/S việc thiếu đk của bạn dẫn đến sự không áp dụng được một cách rất hay như sau
Biến đổi $A=(x+y+z)^2-2(x-y)=t^2$
Đến đây nếu có đk $x,y,z$ không âm, ta có thể dùng chặn kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp, nhưng bạn không cho điều kiện đó thì xét cực kì vất vả, có khi còn không ra vì như ở trên mình chỉ ra vô số nghiệm nên cách này sẽ không ra được vì nó là cách thử và sai (xét miền, giới hạn nghiệm) thì chỉ tìm được hữu hạn nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 20-10-2012 - 18:37


#3 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 20-10-2012 - 19:31

Một bài toán hay, nhưng nó thành xấu khi bạn post vô tổ chức như vậy, không có tí đk gì của $(x,y,z)$ cả ?
Giải như sau:
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-2x+2y=t^2$$
$$x^2+2x(y+z-1)+(y+z)^2+2y=t^2$$
$$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$
$$-4y-2z-1=u^2$$
$$\Rightarrow -4y-2z+1\geq 0$$
Và từ đó suy ra $-2(2y+z)+1$
Khi ấy $x_1,x_2=-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương
Vậy mọi nghiệm là $\boxed{(x,y,z)=\left(-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1},y,z\right)}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương

P/S việc thiếu đk của bạn dẫn đến sự không áp dụng được một cách rất hay như sau
Biến đổi $A=(x+y+z)^2-2(x-y)=t^2$
Đến đây nếu có đk $x,y,z$ không âm, ta có thể dùng chặn kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp, nhưng bạn không cho điều kiện đó thì xét cực kì vất vả, có khi còn không ra vì như ở trên mình chỉ ra vô số nghiệm nên cách này sẽ không ra được vì nó là cách thử và sai (xét miền, giới hạn nghiệm) thì chỉ tìm được hữu hạn nghiệm

Bạn ơi, nếu có thêm điều kiện như bạn nói thì giải tiếp như thế nào? Và chỗ này em chưa học nên không hiểu $$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi yellow: 20-10-2012 - 19:33


$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#4 nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Number theory, Combinatorics-number theory problems

Đã gửi 20-10-2012 - 20:12

Bạn ơi, nếu có thêm điều kiện như bạn nói thì giải tiếp như thế nào? Và chỗ này em chưa học nên không hiểu $$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$

Nếu thêm điều kiện thì ta không cần Delta làm gì cho khổ
Ta có $A=(x+y+z)^2-2(x-y)=u^2$
Khi ấy nếu $x\geq y$ khi đó $(x+y+z-1)^2<(x+y+z)^2-2(x-y)\le (x+y+z)^2$ mà nó chính phương nên $(x+y+z)^2-2(x-y)=(x+y+z)^2$
Khi ấy $x=y$ do đó $(x,y,z)=(m,m,n)$
Nếu $x<y$ ta làm tương tự và TH này loại do dấu $=$ khi $x=y$ nhưng $x<y$ nên loại
Còn nếu làm kiểu delta như mình, khôn ngoan hơn ta sẽ lấy Delta theo biến $z$ khi đó còn lại $x,y$ ta chặn miền lớn hơn hoặc bằng $0$ của Delta khi đó cũng dễ dàng ra $x=y$

#5 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 21-10-2012 - 07:50

Nếu thêm điều kiện thì ta không cần Delta làm gì cho khổ
Ta có $A=(x+y+z)^2-2(x-y)=u^2$
Khi ấy nếu $x\geq y$ khi đó $(x+y+z-1)^2<(x+y+z)^2-2(x-y)\le (x+y+z)^2$ mà nó chính phương nên $(x+y+z)^2-2(x-y)=(x+y+z)^2$
Khi ấy $x=y$ do đó $(x,y,z)=(m,m,n)$
Nếu $x<y$ ta làm tương tự và TH này loại do dấu $=$ khi $x=y$ nhưng $x<y$ nên loại
Còn nếu làm kiểu delta như mình, khôn ngoan hơn ta sẽ lấy Delta theo biến $z$ khi đó còn lại $x,y$ ta chặn miền lớn hơn hoặc bằng $0$ của Delta khi đó cũng dễ dàng ra $x=y$

Em xin lỗi vì đã spam, nhưng anh có thể giải thích dùm em chỗ $(x+y+z-1)^2<(x+y+z)^2-2(x-y)$ và trường hợp $x<y$ được không ạ. Em vẫn chưa làm được trường hợp $x<y$.
Mong anh giúp em nốt chỗ này!

$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#6 Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K13 - THPT Mai Thúc Loan - Lộc Hà - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán!

Đã gửi 21-02-2013 - 18:15

Một bài toán hay, nhưng nó thành xấu khi bạn post vô tổ chức như vậy, không có tí đk gì của $(x,y,z)$ cả ?
Giải như sau:
$$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx-2x+2y=t^2$$
$$x^2+2x(y+z-1)+(y+z)^2+2y=t^2$$
$$\Delta_x'=(y+z-1)^2-(y+z)^2-2y=u^2$$
$$-4y-2z-1=u^2$$
$$\Rightarrow -4y-2z+1\geq 0$$
Và từ đó suy ra $-2(2y+z)+1$
Khi ấy $x_1,x_2=-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương
Vậy mọi nghiệm là $\boxed{(x,y,z)=\left(-(y+z-1)\pm\sqrt{-2(2y+z)+1},y,z\right)}$ với $-2(2y+z)+1$ là số chính phương

P/S việc thiếu đk của bạn dẫn đến sự không áp dụng được một cách rất hay như sau
Biến đổi $A=(x+y+z)^2-2(x-y)=t^2$
Đến đây nếu có đk $x,y,z$ không âm, ta có thể dùng chặn kẹp giữa hai số chính phương liên tiếp, nhưng bạn không cho điều kiện đó thì xét cực kì vất vả, có khi còn không ra vì như ở trên mình chỉ ra vô số nghiệm nên cách này sẽ không ra được vì nó là cách thử và sai (xét miền, giới hạn nghiệm) thì chỉ tìm được hữu hạn nghiệm

Bạn có thể chứng minh luôn trường hợp còn lại không với điều kiện là $x,y,z$ dương




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh