Chủ đề này có 1 trả lời

[Secrets In Inequalities VP]

Bài toán (Lê Minh Tuấn Anh):
Cho $x,y,z> 0$ . Khẳng định hoặc phủ định bất đẳng thức sau :
$(x+y+z)^4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\geq 81x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)$

p/s: Bài toán đầu tay . AE chém nhiệt tình !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 21-10-2012 - 12:39

[WhjteShadow]

Bài toán (Lê Minh Tuấn Anh):
Cho $x,y,z> 0$ . Khẳng định hoặc phủ định bất đẳng thức sau :
$(x+y+z)^4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)\geq 81x^2y^2z^2(x^2+y^2+z^2)$

p/s: Bài toán đầu tay . AE chém nhiệt tình !

Do $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq xyz(x+y+z)$ nên ta chỉ cần chứng minh:
$$(x+y+z)^5\geq 81xyz(x^2+y^2+z^2)$$
Hay là:
$$(x+y+z)^6\geq 81xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)$$
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $(xy+yz+zx)^2\geq 3xyz(x+y+z)$ thì cuối cùng ta cần chỉ ra:
$$(x+y+z)^6\geq 27(xy+yz+zx)^2(x^2+y^2+z^2)$$
Và điều này hiển nhiên đúng the0 $AM-GM$ 3 số
$$27(xy+yz+zx)^2(x^2+y^2+z^2)\leq [2(xy+yz+zx)+(x^2+y^2+z^2)]^3=(x+y+z)^6$$
Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 21-10-2012 - 17:21