Chủ đề này có 1 trả lời

[Secrets In Inequalities VP]

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $p$ điểm ${A_k}(k,{r_k})$ . $k=0,1,2,..,p-1(p \in \mathbb{P},p> 3)$ . ${r_k}$ là số dư của phép chia $k^2$ cho $p$ .
CMR : Trong các điểm ${A_k}$ không có 3 điểm nào thẳng hàng , không có 4 điểm nào lập thành hình bình hành .

[nguyenta98]

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho $p$ điểm ${A_k}(k,{r_k})$ . $k=0,1,2,..,p-1(p \in \mathbb{P},p> 3)$ . ${r_k}$ là số dư của phép chia $k^2$ cho $p$ .
CMR : Trong các điểm ${A_k}$ không có 3 điểm nào thẳng hàng , không có 4 điểm nào lập thành hình bình hành .

Giải như sau:
Trước tiên cm không có ba điểm nào thằng hàng
Giả sử phản chứng có ba điểm thẳng hàng là $A_{k_1},A_{k_2},A_{k_3}$
Khi ấy chúng lần lượt có tọa độ $(k_1,r_{k_1}),(k_2,r_{k_2}),(k_3,r_{k_3})$
Với $k_i^2 \equiv r_{k_i} \pmod{p}$
Khi ấy chúng thẳng hàng nên $A_{k_1}k_1k_3A_{k_3}$ là hình thang vuông
Áp dụng định lý Thales suy ra đoạn $A_{k_2}k_2=r_3.\left(\dfrac{k_2-k_1}{k_3-k_1}\right)+r_1.\left(\dfrac{k_3-k_2}{k_3-k_1}\right)$
Hay $r_2=r_3.\left(\dfrac{k_2-k_1}{k_3-k_1}\right)+r_1.\left(\dfrac{k_3-k_2}{k_3-k_1}\right)$
$\Rightarrow r_2(k_3-k_1)=r_3(k_2-k_1)+r_1(k_3-k_2)$
Thay $r_i \equiv k_i^2 \pmod{p}$
Do đó $k_2^2(k_3-k_1) \equiv k_3^2(k_2-k_1)+k_1^2(k_3-k_2) \pmod{p}$
$\Rightarrow (k_1-k_2)(k_2-k_3)(k_3-k_1) \vdots p$ khi ấy $k_i-k_j \vdots p$ nhưng $k_i,k_l \in (0,1,2,...,p-1)$ suy ra vô lí
Vậy nên điều giả sử là sai suy ra $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-10-2012 - 21:47