Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c là các số dương. CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$

* * * * * 1 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
TianaLoveEveryone

TianaLoveEveryone

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết
1) Cho a,b,c là các số dương bất kì.
CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$

2)Cho a,b,c thỏa mãn: $0\leq a\leq 1 ; 0\leq b\leq 1;0\leq c\leq 1 $
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR: a, $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$
b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
c, $2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}>0$
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$19x^{2}+54y^{2}+16z^{2}-16xz-24yz+36xy+5$

#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

1) Cho a,b,c là các số dương bất kì.
CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$

Tuổi nhỏ làm việc nhỏ tùy theo sức của mình :(
----
Lời giải:
Do $a$, $b$, $c>0$ nên $\dfrac{a}{a+b}<1$, vì vậy: $\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}$.
Tương tự ta có: $\dfrac{b}{a+b+c}<\dfrac{b}{b+c}<\dfrac{b+a}{a+b+c}$ và $\dfrac{c}{a+b+c}<\dfrac{c}{a+c}<\dfrac{c+b}{a+b+c}$.
Cồng vế theo vế các bất đẳng thức tương tự ta thu được điều phải chứng minh. $\blacksquare$
----
Phương pháp giải bài này là phương pháp sử dụng tổng sai phân (theo như anh Cẩn nói ^^)
----
Câu 2 có nhiều trên diễn đàn rồi bạn chịu khó tìm nhé :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 21-10-2012 - 17:05

Thích ngủ.


#3
xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR: a, $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$

vế trái dùng bunhia 1 cái là ra. vế phải thì đơn giản $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+bc+ca <2(ab+bc+ca)$

#4
xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR:
b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$

abc=S.4R, (a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)=8(p-a)(p-b)(p-c)=8.$\frac{S^{2}}{p}$
biến đỏi thêm tí nữa là ra

#5
Dramons Celliet

Dramons Celliet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

vế trái dùng bunhia 1 cái là ra. vế phải thì đơn giản $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+bc+ca <2(ab+bc+ca)$

Bạn xem lại đoạn mình bôi đỏ nhé :).
Giá như... ai đó biết rằng: Mình nhớ ai đó lắm...
Giá như... ai đó biết: Mình yêu ai đó thật nhiều...

#6
xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Bạn xem lại đoạn mình bôi đỏ nhé :).

ừ he.hihi.sr

k trách j cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác mà k dùng đến

#7
kenvuong

kenvuong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR:b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$



$(a+b-c)(a+c-b)= a^{2}-(b-c)^{2}\leq a^{2}$

Tương tự: $(a+b-c)(b+c-a)\leq b^{2}$
$(a+c-b)(b+c-a)\leq c^{2}$

Nhân vế với với vế, ta đk: $((a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))^{2}\leq (abc)^{2}$

=>Đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenvuong: 21-10-2012 - 19:36


#8
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

ừ he.hihi.sr

k trách j cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác mà k dùng đến

Đây nhé :
$a <b+c$
$\Rightarrow a^2 <ab+ac$
Xây dựng các bDt tương tự $\Rightarrow a^2 +b^2 +c^2 < 2(ab+bc+ca)$
------------------
c ,
Phân tích đa thức thành nhân tử hình như được :
$(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)(a+b+c) >0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 21-10-2012 - 22:13


#9
Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$19x^{2}+54y^{2}+16z^{2}-16xz-24yz+36xy+5$

$P=9(x+2y)^{2}+2(3y-2z)^{2}+8(x-z)^{2}+2x^{2}+5$

$Min=5$ khi $x=y=z=0$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh