Cho a,b,c là các số dương. CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$
#1
Đã gửi 21-10-2012 - 16:46
CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$
2)Cho a,b,c thỏa mãn: $0\leq a\leq 1 ; 0\leq b\leq 1;0\leq c\leq 1 $
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR: a, $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$
b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
c, $2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}>0$
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$19x^{2}+54y^{2}+16z^{2}-16xz-24yz+36xy+5$
#2
Đã gửi 21-10-2012 - 17:03
Tuổi nhỏ làm việc nhỏ tùy theo sức của mình1) Cho a,b,c là các số dương bất kì.
CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$
----
Lời giải:
Do $a$, $b$, $c>0$ nên $\dfrac{a}{a+b}<1$, vì vậy: $\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}$.
Tương tự ta có: $\dfrac{b}{a+b+c}<\dfrac{b}{b+c}<\dfrac{b+a}{a+b+c}$ và $\dfrac{c}{a+b+c}<\dfrac{c}{a+c}<\dfrac{c+b}{a+b+c}$.
Cồng vế theo vế các bất đẳng thức tương tự ta thu được điều phải chứng minh. $\blacksquare$
----
Phương pháp giải bài này là phương pháp sử dụng tổng sai phân (theo như anh Cẩn nói ^^)
----
Câu 2 có nhiều trên diễn đàn rồi bạn chịu khó tìm nhé
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 21-10-2012 - 17:05
- TianaLoveEveryone, no matter what, Karl Vierstein và 1 người khác yêu thích
Thích ngủ.
#3
Đã gửi 21-10-2012 - 17:34
vế trái dùng bunhia 1 cái là ra. vế phải thì đơn giản $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+bc+ca <2(ab+bc+ca)$3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR: a, $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$
- TianaLoveEveryone yêu thích
#4
Đã gửi 21-10-2012 - 17:41
abc=S.4R, (a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)=8(p-a)(p-b)(p-c)=8.$\frac{S^{2}}{p}$3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR:
b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
biến đỏi thêm tí nữa là ra
- TianaLoveEveryone yêu thích
#5
Đã gửi 21-10-2012 - 18:12
Bạn xem lại đoạn mình bôi đỏ nhé .vế trái dùng bunhia 1 cái là ra. vế phải thì đơn giản $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+bc+ca <2(ab+bc+ca)$
- TianaLoveEveryone yêu thích
Giá như... ai đó biết: Mình yêu ai đó thật nhiều...
#6
Đã gửi 21-10-2012 - 19:15
ừ he.hihi.srBạn xem lại đoạn mình bôi đỏ nhé .
k trách j cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác mà k dùng đến
- TianaLoveEveryone yêu thích
#7
Đã gửi 21-10-2012 - 19:32
3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR:b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
$(a+b-c)(a+c-b)= a^{2}-(b-c)^{2}\leq a^{2}$
Tương tự: $(a+b-c)(b+c-a)\leq b^{2}$
$(a+c-b)(b+c-a)\leq c^{2}$
Nhân vế với với vế, ta đk: $((a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))^{2}\leq (abc)^{2}$
=>Đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenvuong: 21-10-2012 - 19:36
- TianaLoveEveryone yêu thích
#8
Đã gửi 21-10-2012 - 22:12
Đây nhé :ừ he.hihi.sr
k trách j cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác mà k dùng đến
$a <b+c$
$\Rightarrow a^2 <ab+ac$
Xây dựng các bDt tương tự $\Rightarrow a^2 +b^2 +c^2 < 2(ab+bc+ca)$
------------------
c ,
Phân tích đa thức thành nhân tử hình như được :
$(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)(a+b+c) >0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 21-10-2012 - 22:13
- TianaLoveEveryone yêu thích
#9
Đã gửi 10-02-2014 - 16:11
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$19x^{2}+54y^{2}+16z^{2}-16xz-24yz+36xy+5$
$P=9(x+2y)^{2}+2(3y-2z)^{2}+8(x-z)^{2}+2x^{2}+5$
$Min=5$ khi $x=y=z=0$
- BlackSweet, l4lzTeoz và mnguyen99 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh