Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Cho a,b,c là các số dương. CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 TianaLoveEveryone

TianaLoveEveryone

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 73 Bài viết

Đã gửi 21-10-2012 - 16:46

1) Cho a,b,c là các số dương bất kì.
CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$

2)Cho a,b,c thỏa mãn: $0\leq a\leq 1 ; 0\leq b\leq 1;0\leq c\leq 1 $
CMR: $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR: a, $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$
b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$
c, $2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2c^{2}a^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4}>0$
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$19x^{2}+54y^{2}+16z^{2}-16xz-24yz+36xy+5$

#2 L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 21-10-2012 - 17:03

1) Cho a,b,c là các số dương bất kì.
CMR: $1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2$

Tuổi nhỏ làm việc nhỏ tùy theo sức của mình :(
----
Lời giải:
Do $a$, $b$, $c>0$ nên $\dfrac{a}{a+b}<1$, vì vậy: $\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a}{a+b}<\dfrac{a+c}{a+b+c}$.
Tương tự ta có: $\dfrac{b}{a+b+c}<\dfrac{b}{b+c}<\dfrac{b+a}{a+b+c}$ và $\dfrac{c}{a+b+c}<\dfrac{c}{a+c}<\dfrac{c+b}{a+b+c}$.
Cồng vế theo vế các bất đẳng thức tương tự ta thu được điều phải chứng minh. $\blacksquare$
----
Phương pháp giải bài này là phương pháp sử dụng tổng sai phân (theo như anh Cẩn nói ^^)
----
Câu 2 có nhiều trên diễn đàn rồi bạn chịu khó tìm nhé :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gin Escaper: 21-10-2012 - 17:05

Thích ngủ.


#3 xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quỳnh Lưu, Nghệ An

Đã gửi 21-10-2012 - 17:34

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR: a, $ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}<2(ab+bc+ca)$

vế trái dùng bunhia 1 cái là ra. vế phải thì đơn giản $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+bc+ca <2(ab+bc+ca)$

#4 xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quỳnh Lưu, Nghệ An

Đã gửi 21-10-2012 - 17:41

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR:
b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$

abc=S.4R, (a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)=8(p-a)(p-b)(p-c)=8.$\frac{S^{2}}{p}$
biến đỏi thêm tí nữa là ra

#5 Dramons Celliet

Dramons Celliet

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-10-2012 - 18:12

vế trái dùng bunhia 1 cái là ra. vế phải thì đơn giản $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq ab+bc+ca <2(ab+bc+ca)$

Bạn xem lại đoạn mình bôi đỏ nhé :).
Giá như... ai đó biết rằng: Mình nhớ ai đó lắm...
Giá như... ai đó biết: Mình yêu ai đó thật nhiều...

#6 xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quỳnh Lưu, Nghệ An

Đã gửi 21-10-2012 - 19:15

Bạn xem lại đoạn mình bôi đỏ nhé :).

ừ he.hihi.sr

k trách j cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác mà k dùng đến

#7 kenvuong

kenvuong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 28 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:...???

Đã gửi 21-10-2012 - 19:32

3) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác.
CMR:b, $abc\geq (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)$



$(a+b-c)(a+c-b)= a^{2}-(b-c)^{2}\leq a^{2}$

Tương tự: $(a+b-c)(b+c-a)\leq b^{2}$
$(a+c-b)(b+c-a)\leq c^{2}$

Nhân vế với với vế, ta đk: $((a+b-c)(a+c-b)(b+c-a))^{2}\leq (abc)^{2}$

=>Đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kenvuong: 21-10-2012 - 19:36


#8 Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Anime !!

Đã gửi 21-10-2012 - 22:12

ừ he.hihi.sr

k trách j cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác mà k dùng đến

Đây nhé :
$a <b+c$
$\Rightarrow a^2 <ab+ac$
Xây dựng các bDt tương tự $\Rightarrow a^2 +b^2 +c^2 < 2(ab+bc+ca)$
------------------
c ,
Phân tích đa thức thành nhân tử hình như được :
$(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)(a+b+c) >0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 21-10-2012 - 22:13


#9 Rias Gremory

Rias Gremory

    Del Name

  • Thành viên
  • 1384 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Tĩnh
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 10-02-2014 - 16:11

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$19x^{2}+54y^{2}+16z^{2}-16xz-24yz+36xy+5$

$P=9(x+2y)^{2}+2(3y-2z)^{2}+8(x-z)^{2}+2x^{2}+5$

$Min=5$ khi $x=y=z=0$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh