Chủ đề này có 3 trả lời

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Hãy tìm tất cả các hàm số $f(x):\mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}^{*}$ thỏa mãn :

$f(x^y)=f(x)^{f(y)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 21-10-2012 - 18:25

[Idie9xx]

Hãy tìm tất cả các hàm số $f(x):\mathbb{R}^{*} \to \mathbb{R}^{*}$ thỏa mãn :

$f(x^y)=f(x)^{f(y)}$

 

Thấy bài này cũng hay nên làm

Ta có $(f(z))^{f(xy)}=f(z^{xy})=f((z^x)^y)=(f(z^x))^{f(y)}=((f(z))^{f(x)})^{f(y)}=(f(z))^{f(x)f(y)}$

$\Rightarrow f(xy)=f(x)f(y)$ hoặc $f(z)=1$ (thỏa)

Với $f(xy)=f(x)f(y)$ có $(f(z))^{f(x+y)}=f(z^{x+y})=f(z^x \cdot z^y)=(f(z^x))(f(z^y))=(f(z))^{f(x)} \cdot (f(z))^{f(y)}=(f(z))^{f(x)+f(y)}$

$\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)$ hoặc $f(z)=1$ (thỏa)

Với $f(xy)=f(x)f(y)$ và $f(x+y)=f(x)+f(y)$

Ta có $f(x^2)=(f(x))^2>0$ vậy $x>0 \Leftrightarrow f(x)>0$ và hàm cộng tính

$\Rightarrow f(x)=x$ (thỏa)

Vậy ta có hai hàm thỏa đề là $f(x)=1$ và $f(x)=x$

[barcavodich]

$f(x)=-1$ cũng thỏa đề mà

[Idie9xx]

$f(x)=-1$ cũng thỏa đề mà

Quên chưa sửa cái trích dẫn kia

Tốt nhất nên cho $f:\mathbb{R^+}\rightarrow \mathbb{R^+}$ không thì cũng lằng nhằng lắm

$x<0$ thì $|y|\geq 1$