Chủ đề này có 3 trả lời

[cool hunter]

Cho ∆ABC không cân & đường tròn nội tiếp (I); M là điểm chạy trên (I). Gọi H,K,L lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC, CA, AB. Tìm vị trí điểm M sao cho MH +MK+ ML max, min.

[Lnmn179]

Gọi X, Y, Z lần lượt là giao điểm của (I) với BC, CA, AB. r là bán kính của (I). G là trọng tâm tam giác XYZ.
ta có :
MH+MK+ML
= $\frac{1}{r}(MH\cdot IX+MK\cdot IY+ML\cdot IZ )$
= $\frac{1}{r}(\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{IX}+\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{IY}+\overrightarrow{ML}\cdot \overrightarrow{IZ})$
= $\frac{1}{r}(\overrightarrow{MX}\cdot \overrightarrow{IX}+\overrightarrow{MY}\cdot \overrightarrow{IY}+\overrightarrow{MZ}\cdot \overrightarrow{IZ})$
= $\frac{1}{r}((\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IX})\overrightarrow{IX}+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IY})\overrightarrow{IY}+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IZ})\overrightarrow{IZ})$
= $\frac{1}{r}(\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IX}+\overrightarrow{IY}+\overrightarrow{IZ})+3r^{2})$
= $3r+\frac{-3}{r}\overrightarrow{IG}\cdot \overrightarrow{IM}$
=> MH+MK+ML max(min)
<=> $\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{IG}$ min(max)
<=> $\overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{IG}$ ngược hướng ( cùng hướng )
<=> M trùng P hoặc M trùng Q.
với PQ là đường kính (I), $\overrightarrow{IP}$ cùng hướng $\overrightarrow{IG}$, $\overrightarrow{IQ}$ ngược hướng $\overrightarrow{IG}$

[cool hunter]

Gọi X, Y, Z lần lượt là giao điểm của (I) với BC, CA, AB. r là bán kính của (I). G là trọng tâm tam giác XYZ.
ta có :
MH+MK+ML
= $\frac{1}{r}(MH\cdot IX+MK\cdot IY+ML\cdot IZ )$
= $\frac{1}{r}(\overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{IX}+\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{IY}+\overrightarrow{ML}\cdot \overrightarrow{IZ})$
= $\frac{1}{r}(\overrightarrow{MX}\cdot \overrightarrow{IX}+\overrightarrow{MY}\cdot \overrightarrow{IY}+\overrightarrow{MZ}\cdot \overrightarrow{IZ})$
= $\frac{1}{r}((\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IX})\overrightarrow{IX}+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IY})\overrightarrow{IY}+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IZ})\overrightarrow{IZ})$
= $\frac{1}{r}(\overrightarrow{MI}(\overrightarrow{IX}+\overrightarrow{IY}+\overrightarrow{IZ})+3r^{2})$
= $3r+\frac{-3}{r}\overrightarrow{IG}\cdot \overrightarrow{IM}$
=> MH+MK+ML max(min)
<=> $\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{IG}$ min(max)
<=> $\overrightarrow{IM}$ và $\overrightarrow{IG}$ ngược hướng ( cùng hướng )
<=> M trùng P hoặc M trùng Q.
với PQ là đường kính (I), $\overrightarrow{IP}$ cùng hướng $\overrightarrow{IG}$, $\overrightarrow{IQ}$ ngược hướng $\overrightarrow{IG}$

sr t đánh dấu nhầm, t ko hiểu đoạn này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi rubik97: 24-10-2012 - 20:34

[Lnmn179]

t k hiểu đoạn tô màu

đơn giản thôi bạn. Vì $\overrightarrow{MH}$ và $\overrightarrow{IX}$ cùng phương và cùng hướng nên tích vô hướng của chúng bằng tích độ dài của chúng. ( vì cos$\left ( \overrightarrow{MH},\overrightarrow{IX} \right )$ =1 )
tương tự với hai tích còn lại.