Chủ đề này có 2 trả lời

[chinhanh9]

Cho đường tròn $\left ( O \right )$, dây cung $BC$ cố định, $A$ là một điểm di động trên $\left ( O \right )$. Vẽ $BH$ vuông góc với $AC$ cắt $\left ( O \right )$ tại $D$. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AD$ cắt $BC$ tại $K$. $M$ là trung điểm của $IK$. Tìm quỹ tích điểm $M$.

[davildark]

$F=DI \ \cap \(O) $ nên F cố định
E là trung điểm KF
Dễ dàng CM K là trung điểm BC và $IF=FC$
$\Rightarrow EM=\frac{IF}{2}=\frac{FC}{2}$
Vậy M di chuyển trên đường tròn tâm E bán kính $\frac{FC}{2}$

[chinhanh9]

$F=DI \ \cap \(O) $ nên F cố định
E là trung điểm KF
Dễ dàng CM K là trung điểm BC và $IF=FC$
$\Rightarrow EM=\frac{IF}{2}=\frac{FC}{2}$
Vậy M di chuyển trên đường tròn tâm E bán kính $\frac{FC}{2}$

ồ cách giải làm tớ ngạc nhiên vì khác hẳn cách tớ nghĩ ra nó, kễt quả cũng có một số khác biệt. Vì $A$ di động trên toàn bộ đường tròn nên $D$ cùng vậy. Khi đó ta có đến 2 điểm $F$ như bạn nói. Dẫn đến quỹ tích điểm $M$ là hai cung tròn
Còn đây là cách của tớ - sử dụng kiến thức về phép biến hình lớp 11 (thế nên nó mới nằm trong box THPT)
Vì $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $BCD$ nên ta luôn có $\angle BIC= 90^{0}+\angle BDC$. $\angle BDC$ không đổi nên $\angle BIC$ cũng không đổi.
Do đó $I$ chạy trên cung $C$ chứa góc $\alpha =90^{0}+\angle BDC$ dựng trên đoạn thẳng $BC$, (Dĩ nhiên là cũng có 2 cung chứa góc như thế).
Đến đây sử dụng phép vị tự: $\overrightarrow{KM}= \frac{1}{2}\overrightarrow{KI}$ nên $M$ là ảnh của $I$ qua phép vị tự tâm $K$ tỉ số $\frac{1}{2}$. Do đó quỹ tích điểm $M$ là cung chứa góc ảnh của cung $C$ qua phép vị tự trên.
Với cách này thì ta có thể giải quyết bài toán trong trường hợp điểm $M$ chia đoạn thẳng $KI$ theo bất kì tỉ lệ nào