Chủ đề này có 8 trả lời

[Ug3tly97]

Xác định hàm số $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thoả mãn các điều kiện
a- $f(2)=0$
b- $f(x) \ne 0$
c- $f[x.f(y)].f(y)=f(x+y) \,\, \forall x,y \in \mathbb{R}^+$



M.n giúp giùm pài này nhanh xíu mình đang gấp nha.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-10-2012 - 21:34

[perfectstrong]

Theo anh biết trong quy ước quốc tế thì $\mathbb{R}^+$ không chứa số $0$ thì phải mà?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 22-10-2012 - 21:42

[Ug3tly97]

Theo anh biết trong quy ước quốc tế thì $\mathbb{R}^+$ không chứa số $0$ thì phải mà?

Em học hồi cấp2 cũng không có số 0 nhưng mấy thầy lại cho thế.

[perfectstrong]

Thế sao trong giả thiết lại mâu thuẫn thế?
Anh giải theo TH gt đúng với mọi $x,y>0$.
Lời giải:
\[
f\left( {xf\left( y \right)} \right)f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right),\forall x,y \in R^ + ,\left( 1 \right)
\]
Nếu $\exists y_0 > 0:f\left( {y_0 } \right) > 1$
\[
\begin{array}{l}
x: = \frac{{y_0 }}{{f\left( {y_0 } \right) - 1}} \Rightarrow xf\left( {y_0 } \right) = x + y_0 \Rightarrow f\left( {xf\left( {y_0 } \right)} \right) = f\left( {x + y_0 } \right) > 0 \\
\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {y_0 } \right) = 1:False \\
\Rightarrow 0 < f\left( y \right) \le 1,\forall y > 0 \\
\Rightarrow f\left( {x + y} \right) = f\left( {xf\left( y \right)} \right)f\left( y \right) \le f\left( y \right) \\
\Rightarrow \forall y > x:f\left( y \right) = f\left( {x + y - x} \right) = f\left( {\left( {y - x} \right)f\left( x \right)} \right)f\left( x \right) \le f\left( x \right) \\
\end{array}
\]
Vậy $f$ giảm không nghiêm ngặt
TH1: tồn tại $a>0:f(a)=1$
\[
\begin{array}{l}
y: = a,\left( 1 \right) \Rightarrow f\left( {xf\left( a \right)} \right)f\left( a \right) = f\left( {a + x} \right) \Rightarrow f\left( {a + x} \right) = f\left( x \right),\forall x > 0 \\
\Rightarrow f\left( x \right) = f\left( {x + na} \right),\forall x > 0,n \in N \\
\forall x,y:0 < x < y \\
n: = \left\lfloor {\frac{{y - x}}{a}} \right\rfloor \Rightarrow n \le \frac{{y - x}}{a} < n + 1 \Rightarrow na + x \le y < \left( {n + 1} \right)a + x \\
\Rightarrow f\left( {na + x} \right) \ge f\left( y \right) \ge f\left( {\left( {n + 1} \right)a + x} \right) \\
\Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( y \right) \ge f\left( x \right) \\
\left. \begin{array}{l}
\Rightarrow f\left( x \right) = C:const,\forall x > 0 \\
\exists a > 0:f\left( a \right) = 1 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right) = 1,\forall x \\
\end{array}
\]
TH2: $0<f(x)<1\,\, \forall x$
\[
\begin{array}{l}
\Rightarrow f\left( {x + y} \right) = f\left( {xf\left( y \right)} \right)f\left( y \right) < f\left( y \right) \\
\Rightarrow \forall x,y:0 < x < y \Rightarrow f\left( y \right) = f\left( {x + y - x} \right) = f\left( {\left( {y - x} \right)f\left( x \right)} \right)f\left( x \right) < f\left( x \right) \\
\end{array}
\]
Do vậy, $f$ giảm ngặt. Đặt $f(1)=a \in (0;1)$. Trong $(1)$, thay $y:=1$
\[
\begin{array}{l}
f\left( {ax} \right).a = f\left( {x + 1} \right) = f\left( {ax + 1 + x - ax} \right) = f\left( {ax} \right)f\left( {\left( {1 + x - ax} \right)f\left( {ax} \right)} \right) \\
\Rightarrow f\left( {\left( {1 + x - ax} \right)f\left( {ax} \right)} \right) = a = f\left( 1 \right) \\
\Rightarrow \left( {1 + x - ax} \right)f\left( {ax} \right) = 1 \\
\Rightarrow f\left( {ax} \right) = \frac{1}{{1 + x - ax}} \\
x: = \frac{x}{a} \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{1}{{1 + \frac{x}{a} - a.\frac{x}{a}}} = \frac{a}{{a + \left( {1 - a} \right)x}},\forall x > 0 \\
\end{array}
\]
Thử lại:
Nếu $f \equiv 1$ thì (1) thành $1.1=1$: luôn đúng $\forall x,y>0$.
Nếu $f\left( x \right) = \frac{a}{{a + \left( {1 - a} \right)x}},\forall x > 0$ trong đó $a$ là hằng số và $0<a<1$.
\[
f\left( {xf\left( y \right)} \right)f\left( y \right) = \frac{a}{{a + \left( {1 - a} \right)x.\frac{a}{{a + \left( {1 - a} \right)y}}}}.\frac{a}{{a + \left( {1 - a} \right)y}} = \frac{a}{{a + \left( {1 - a} \right)\left( {x + y} \right)}} = f\left( {x + y} \right),\forall x,y > 0
\]
Kết luận: $f\equiv 1$ hoặc $f\left( x \right) = \frac{a}{{a + \left( {1 - a} \right)x}},\forall x > 0$ trong đó $a$ là hằng số và $0<a<1$.

[Ug3tly97]

Nếu zậy thì em phải nói thầy xem lại đề rồi. Đề này do CLB trường cho, có nhiều thầy cô xem qua mà lẽ nào sai ?. Mà đọc bài này em nghĩ là mỗi câu tìm ra 1 hàm số chứ. Anh làm gọp 3 điều kiện để tìm 1 hàm số thôi à?.

[perfectstrong]

Nếu zậy thì em phải nói thầy xem lại đề rồi. Đề này do CLB trường cho, có nhiều thầy cô xem qua mà lẽ nào sai ?. Mà đọc bài này em nghĩ là mỗi câu tìm ra 1 hàm số chứ. Anh làm gọp 3 điều kiện để tìm 1 hàm số thôi à?.

Đề bài như vậy là cho hệ điều kiện để tìm các hàm số thỏa hệ đó.
Còn nếu bài là $f:[0;+\infty) \to [0;+\infty)$ thì bài toán sẽ trở nên khó hơn nhiều. Anh vẫn chưa làm ra trong TH đó

[Ug3tly97]

Có 1 số đứa trong lớp em nó làm xog rồi, em hỏi nó thỳ nó cũng kiu là hôg có 0 nhưng mà nó vẫn làm theo đề, không hiểu nữa. Cứ thế này chắc em khỏi nộp bài thi luôn qá :-|

[perfectstrong]

Có 1 số đứa trong lớp em nó làm xog rồi, em hỏi nó thỳ nó cũng kiu là hôg có 0 nhưng mà nó vẫn làm theo đề, không hiểu nữa. Cứ thế này chắc em khỏi nộp bài thi luôn qá :-|

Theo quy định quốc tế là $0 \not \in \mathbb{R}^+$. Em cứ làm trên tập số dương đi.
Còn nếu thầy yêu cầu giải phải có số $0$, thì phải xét thêm trường hợp vậy

[Trungpbc]

Xác định hàm số $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ thoả mãn các điều kiện
a- $f(2)=0$
b- $f(x) \ne 0$
c- $f[x.f(y)].f(y)=f(x+y) \,\, \forall x,y \in \mathbb{R}^+$
M.n giúp giùm pài này nhanh xíu mình đang gấp nha.

$\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương (không chứa $0$) nhưng trong bài toán này, ta phải hiểu nó có chứa phần tử $0$ (đáng lẽ trong đề bài cần có chú thích rõ đoạn này) vì đây chính là problem 5 IMO 1986. Sau đây mình xin trình bày lời giải một mở rộng đẹp của bài toán IMO 1986 đó.
Bài toán. Kí hiệu $\mathbb{R}_{0}^{+}$ để chỉ tập các số thực không âm. Xác định tất cả các hàm $f:\mathbb{R}_{0}^{+}\rightarrow \mathbb{R}_{0}^{+}$ thỏa mãn $$f(x)f(yf(x))=f(x+y)$$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}_{0}^{+}$.
Lời giải. Chọn $y=0$ ta có $f(x)f(0)=f(x)$. Bỏ qua trường hợp tầm thường $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}_{0}^{+}$, suy ra $f(0)=1$. Bây giờ, xét hai khả năng có thể xảy ra:
Khả năng 1. Tồn tại $x>0$ sao cho $f(x)=0$, đặt $a=\inf\left \{ x|f(x)=0,x\in \mathbb{R}_{0}^{+} \right \}$ (chú ý, có được điều này là bởi vì, mọi $x$ thỏa mãn như vậy đều bị chặn dưới bởi $0$). Theo định nghĩa cận dưới đúng, với mọi $y>a$, tồn tại $x$ thỏa mãn $y>x\geqslant a$ và $f(x)=0$. Khi đó, ta có: $$f(y)=f(y-x+x)=f(x)f((y-x)f(x))=0$$ Do đó, với mọi $x\in (a,+\infty)$ thì $f(x)=0$. Nếu $a=0$ thì ta thu được hàm số $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
1 &,x=0 \\
0&,x>0
\end{matrix}\right.$$ Việc kiểm tra hàm số này thỏa mãn khá đơn giản, không trình bày ở đây.
Xét trường hợp còn lại: $a>0$, theo định nghĩa của $a$ thì $f(x)>0,\forall x<a$. Mặt khác, với mọi $\varepsilon >0$ và $x<a$, ta có: $$0=f(a+\varepsilon )=f(x)f((a+\varepsilon -x)f(x))$$ Suy ra $$f((a+\varepsilon -x)f(x))=0$$ Cho nên, từ định nghĩa của $a$, ta phải có $$(a+\varepsilon -x)f(x)\geqslant a$$ Hệ quả là $f(x)>0,\forall x<a$ và $f(x)\geqslant \frac{a}{a+\varepsilon -x},\forall \varepsilon >0$. Cố định $x$, cố định $x$ cho $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$, thu được kết quả $$f(x)\geqslant \frac{a}{a-x},\forall x<a$$ Lại có $$f\left ( x+\frac{a+\varepsilon }{f(x)} \right )=f(x)f\left ( \frac{a+\varepsilon }{f(x)}.f(x) \right )=0$$ nên $ x+\frac{a+\varepsilon }{f(x)} \geqslant a,\forall \varepsilon >0$. Có định $x$, cho $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$, ta có $$f(x)\leqslant \frac{a}{a-x},\forall x<a$$ Do đó, $$f(x)=\frac{a}{a-x},\forall x<a$$ Đặc biệt, chọn $x=\frac{a}{2}$ thì $f\left ( \frac{a}{2} \right )=2$. Cho $x=y=\frac{a}{2}$ vào phương trình ban đầu, ta có $f(a)=0$. Tóm lại, hàm $f$ trong TH này được xác định như sau $$f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{a}{a-x}&,x< a \\
0 & ,x\geqslant a
\end{matrix}\right.$$ Kiểm tra hàm này thỏa mãn bài toán đơn giản không trình bày ở đây.
Khả năng 2. Không tồn tại $x>0$ sao cho $f(x)=0$, nói cách khác $f(x)>0$ với mọi $x>0$. Các bạn có thể tham khảo lời giải của perfecstrong. Ngoài ra còn một lời giải bằng đạo hàm (khá ngắn gọn) trong TH này, bạn nào quan tâm thì suy nghĩ tiếp xem nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trungpbc: 14-11-2012 - 18:06