Đề thi HSG 12 tỉnh Bình Định năm 2013
#1
Đã gửi 22-10-2012 - 20:50
1. Tìm giá trị của $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi số thực $x$
$$(2-log_{2}\frac{m}{m+1})x^2 - 2(1+log_{2}\frac{m}{m+1})x-2(1+log_{2}\frac{m}{m+1})<0$$
2. Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+ \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$$
Bài 2 (4,0 đ)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $(2x+5y+1)(2^{|x|} + y +x^2 + x) = 105$.
2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.
Bài 3 (3,0 đ)
Dãy số ${u_n}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}
u_1=a\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2-2\left \{ u_n \right \}^2}{[u_n]}
\end{matrix}\right.$
(Với $a \ge 1$ cho trước và kí hiệu $[a],\left \{a \right \}$ tương ứng chỉ phần nguyên và phần lẻ của số $a$.
Tìm $\lim _{n\to\infty }u_{n }$.
Bài 4 (6,0 đ).
1. Cho $\Delta ABC$ có $BC=a, AC=b, AB=c$ thỏa $c^4=a^4+b^4$. CMR $\Delta ABC$ nhọn và $2sin^2C=tan A. tan B$
2. Về phía ngoài $\Delta ABC$ nhọn dựng các tam giác đều $BCF,CAE,ABD$. CMR các đường thẳng lần lượt đi qua các trung điểm $M,N,P$ của các cạnh $BC,CA,AB$ và theo thứ tự vuông góc với các đường thẳng $DE,DF,EF$ đồng quy tại 1 điểm.
Bài 5 (2,0 đ).
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:
$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.
p/s:hi,mới thi hồi sáng!!mình làm có được bài 1,2,với bài 4:1\right ) à!!!nhưng lại...sai tùm lum hết!
- Mai Duc Khai, Spin9x, VNSTaipro và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 23-10-2012 - 19:25
Đặt $a=\dfrac{1}{x} ; b=\dfrac{1}{y} , c=\dfrac{1}{z}$2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.
BĐT cần chứng minh trở thành :
$$\dfrac{\dfrac{1}{xy}}{\dfrac{1}{z}.\dfrac{y+z}{yz}} +\dfrac{\dfrac{1}{yz}}{\dfrac{1}{x}.\dfrac{x+z}{xz}} +\dfrac{\dfrac{1}{xz}}{\dfrac{1}{y}.\dfrac{x+y}{xy}} \ge \dfrac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{z^2}{x(y+z)}+\dfrac{x^2}{y(x+z)}+\dfrac{y^2}{z(y+x)} \ge \dfrac{3}{2}$$
Đến đây áp dụng BĐT $C.S$ ta có $$ VT \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)} \ge \dfrac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z $ hay $a=b=c$.
Vậy BĐT được chứng minh .
- ducthinh26032011, WhjteShadow, chagtraife và 1 người khác yêu thích
Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net
#4
Đã gửi 23-10-2012 - 21:22
Bài 5: Gợi ý nhỏ là dùng pp thế biến chứng minh được $f(x)=f(a-x)$ ; $f(a)=\frac{1}{2}$ rồi suy ra ngay $f(x)=\frac{1}{2}$ hoặc $f(x)=\frac{-1}{2}$. Loại trường hợp $f(x)=\frac{-1}{2}$ ta có ngay kết quả !Bài 5 (2,0 đ).
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:
$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.
p/s:hi,mới thi hồi sáng!!mình làm có được bài 1,2,với bài 4:1\right ) à!!!nhưng lại...sai tùm lum hết!
P/s: Bài bđt lãng phí khi đặt ẩn, Cauchy-Schwarz bình thường cũng ra mà ^^!
___
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 23-10-2012 - 21:24
- chagtraife và langtukoolly thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#5
Đã gửi 24-10-2012 - 01:06
#6
Đã gửi 24-10-2012 - 13:30
*a=0 => k thỏa
* a<0 và $\Delta$ <0 dặt t= log2$\frac{m}{m+1}$
#7
Đã gửi 24-10-2012 - 20:21
Bài 1 (5,0 đ)
1. Tìm giá trị của $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi số thực $x$
$$(2-log_{2}\frac{m}{m+1})x^2 - 2(1+log_{2}\frac{m}{m+1})x-2(1+log_{2}\frac{m}{m+1})<0$$
2. Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+ \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$$
Bài 2 (4,0 đ)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $(2x+5y+1)(2^{|x|} + y +x^2 + x) = 105$.
2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.
Bài 3 (3,0 đ)
Dãy số ${u_n}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}
u_1=a\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2-2\left \{ u_n \right \}^2}{[u_n]}
\end{matrix}\right.$
(Với $a \ge 1$ cho trước và kí hiệu $[a],\left \{a \right \}$ tương ứng chỉ phần nguyên và phần lẻ của số $a$.
Tìm $\lim _{n\to\infty }u_{n }$.
Bài 4 (6,0 đ).
1. Cho $\Delta ABC$ có $BC=a, AC=b, AB=c$ thỏa $c^4=a^4+b^4$. CMR $\Delta ABC$ nhọn và $2sin^2C=tan A. tan B$
2. Về phía ngoài $\Delta ABC$ nhọn dựng các tam giác đều $BCF,CAE,ABD$. CMR các đường thẳng lần lượt đi qua các trung điểm $M,N,P$ của các cạnh $BC,CA,AB$ và theo thứ tự vuông góc với các đường thẳng $DE,DF,EF$ đồng quy tại 1 điểm.
Bài 5 (2,0 đ).
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:
$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.
p/s:hi,mới thi hồi sáng!!mình làm có được bài 1,2,với bài 4:1\right ) à!!!nhưng lại...sai tùm lum hết!
Đề năm nay tỉnh mình ra dễ..... câu 1,2 cho không 9 điểm thêm câu hình lượng giak là đủ điểm đậu... Chỉ có mỗi câu giới hạn dãy là hơi vất vả thôi..........
Hihihi
- chagtraife yêu thích
#8
Đã gửi 25-10-2012 - 17:16
Bài 3 (3,0 đ)
Dãy số ${u_n}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}
u_1=a\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2-2\left \{ u_n \right \}^2}{[u_n]}
\end{matrix}\right.$
(Với $a \ge 1$ cho trước và kí hiệu $[a],\left \{a \right \}$ tương ứng chỉ phần nguyên và phần lẻ của số $a$.
Tìm $\lim _{n\to\infty }u_{n }$.
Gợi ý câu dãy: ta tìm cách chứng minh $1< u_n < 2$ rồi suy ra giới hạn !
___
- chagtraife yêu thích
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#9
Đã gửi 25-10-2012 - 18:42
Cho $x=y=0$ ta có $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(a)\Rightarrow f(a)=\frac{1}{2}$Bài 5 (2,0 đ).
Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:
$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.
$y=0$ thì $f(x)=f(a-x)$
$\Rightarrow f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)=2f(x)f(y)$
$f(a)=f(a-x+x)=2f(a-x)f(x)=2(f(x))^2\Rightarrow (f(x))^2=\frac{1}{4}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 25-10-2012 - 18:43
- chagtraife yêu thích
#10
Đã gửi 27-10-2012 - 18:11
#11
Đã gửi 27-10-2012 - 18:22
hic!đúng là dễ thật!zậy mà làm sai mới đau chứ!câu 4 quên chứng minh tam giác nhọn!còn câu 1, giải ra đén đoạn $\frac{m}{m+1} \geq 2^{5}$ rồi mà để sai mất!Đề năm nay tỉnh mình ra dễ..... câu 1,2 cho không 9 điểm thêm câu hình lượng giak là đủ điểm đậu... Chỉ có mỗi câu giới hạn dãy là hơi vất vả thôi..........
Hihihi
#12
Đã gửi 28-10-2012 - 09:40
Cách khác :2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.
Sử dụng BDT B.C.S :
$\frac{a^2b^2}{abc(b+c)} + \frac{b^2c^2}{abc(c+a)} + \frac{c^2a^2}{acb(a+b)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 +2abc(a+b+c) \geq 3abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Mà $a^2b^2 +b^2c^2 \geq 2ab^2c$
Tương tự và cộng vào ta có :$a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Vậy bài toán hoàn toàn chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackBot: 28-10-2012 - 09:42
- Spin9x yêu thích
#13
Đã gửi 28-10-2012 - 09:45
Cách khác :
Sử dụng BDT B.C.S :
$\frac{a^2b^2}{abc(b+c)} + \frac{b^2c^2}{abc(c+a)} + \frac{c^2a^2}{acb(a+b)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 +2abc(a+b+c) \geq 3abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Mà $a^2b^2 +b^2c^2 \geq 2ab^2c$
Tương tự và cộng vào ta có :$a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Vậy bài toán hoàn toàn chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Đoạn chứng minh $(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c)$ bạn có thể dùng bđt quen thuộc $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ để đơn giản hơn nhé !
___
GEOMETRY IS WONDERFUL !!!
Some people who are good at calculus think that they will become leading mathematicians. It's funny and stupid.
Nguyễn Lâm Thịnh
#14
Đã gửi 19-12-2012 - 13:13
Hy vọng có nghiệm tình em trong đó
Đôi mắt em là phương trình bỏ ngỏ
Rèm mi cong nghiêng một góc Alpha
Anh nhìn em tưởng giới hạn đã nhoà !
Nhưng than ôi ! Toạ độ tình vụt tắt
Anh thẫn thờ về trong hiu hắt
Nhận ra mình chỉ phận nghiệm ngoại lai
Thế mà anh cứ ngỡ mình Y max
Nước mắt rơi hay đồ thị tuôn dài ?
Anh mãi chôn hồn mình trong đơn điệu
Trong không gian ảo vọng khối đa chiều
Giới hạn ấy làm sao nhoà em nhỉ ?
Suốt đời mình chỉ tiệm cận mà thôi...
#15
Đã gửi 19-12-2012 - 21:07
bài hình câu b có thể dùng định lý Carnot (điều kiện để 3 đường thẳng lần lượt vuông góc với 3 cạnh tam giác đồng quy) kết hợp với biến đổi đơn giản?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 19-12-2012 - 21:08
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh