Chủ đề này có 14 trả lời

[chagtraife]

Bài 1 (5,0 đ)

1. Tìm giá trị của $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi số thực $x$
$$(2-log_{2}\frac{m}{m+1})x^2 - 2(1+log_{2}\frac{m}{m+1})x-2(1+log_{2}\frac{m}{m+1})<0$$
2. Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+ \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$$
Bài 2 (4,0 đ)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $(2x+5y+1)(2^{|x|} + y +x^2 + x) = 105$.

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.

Bài 3 (3,0 đ)

Dãy số ${u_n}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}
u_1=a\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2-2\left \{ u_n \right \}^2}{[u_n]}
\end{matrix}\right.$
(Với $a \ge 1$ cho trước và kí hiệu $[a],\left \{a \right \}$ tương ứng chỉ phần nguyên và phần lẻ của số $a$.
Tìm $\lim _{n\to\infty }u_{n }$.

Bài 4 (6,0 đ).

1. Cho $\Delta ABC$ có $BC=a, AC=b, AB=c$ thỏa $c^4=a^4+b^4$. CMR $\Delta ABC$ nhọn và $2sin^2C=tan A. tan B$

2. Về phía ngoài $\Delta ABC$ nhọn dựng các tam giác đều $BCF,CAE,ABD$. CMR các đường thẳng lần lượt đi qua các trung điểm $M,N,P$ của các cạnh $BC,CA,AB$ và theo thứ tự vuông góc với các đường thẳng $DE,DF,EF$ đồng quy tại 1 điểm.

Bài 5 (2,0 đ).

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:

$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.

p/s:hi,mới thi hồi sáng!!mình làm có được bài 1,2,với bài 4:1\right ) à!!!nhưng lại...sai tùm lum hết!

[sogenlun]

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.

Đặt $a=\dfrac{1}{x} ; b=\dfrac{1}{y} , c=\dfrac{1}{z}$
BĐT cần chứng minh trở thành :
$$\dfrac{\dfrac{1}{xy}}{\dfrac{1}{z}.\dfrac{y+z}{yz}} +\dfrac{\dfrac{1}{yz}}{\dfrac{1}{x}.\dfrac{x+z}{xz}} +\dfrac{\dfrac{1}{xz}}{\dfrac{1}{y}.\dfrac{x+y}{xy}} \ge \dfrac{3}{2}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{z^2}{x(y+z)}+\dfrac{x^2}{y(x+z)}+\dfrac{y^2}{z(y+x)} \ge \dfrac{3}{2}$$
Đến đây áp dụng BĐT $C.S$ ta có $$ VT \ge \dfrac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+xz)} \ge \dfrac{3}{2}$$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z $ hay $a=b=c$.
Vậy BĐT được chứng minh .

[Crystal]

Bài 1 (5,0 đ)
2. Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+ \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$$

Xem tại đây.

[NLT]

Bài 5 (2,0 đ).

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:

$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.

p/s:hi,mới thi hồi sáng!!mình làm có được bài 1,2,với bài 4:1\right ) à!!!nhưng lại...sai tùm lum hết!

Bài 5: Gợi ý nhỏ là dùng pp thế biến chứng minh được $f(x)=f(a-x)$ ; $f(a)=\frac{1}{2}$ rồi suy ra ngay $f(x)=\frac{1}{2}$ hoặc $f(x)=\frac{-1}{2}$. Loại trường hợp $f(x)=\frac{-1}{2}$ ta có ngay kết quả !

P/s: Bài bđt lãng phí khi đặt ẩn, Cauchy-Schwarz bình thường cũng ra mà ^^!
___

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Lam Thinh: 23-10-2012 - 21:24

[mekjpdoj]

bài 1 hình như thiếu x thì phải, nếu không 2 cái ở sau có gì khác đau

[mekjpdoj]

bài 1 làm theo kiểu tam thức bậc 2, xét 2 trường hợp
*a=0 => k thỏa
* a<0 và $\Delta$ <0 dặt t= log₂$\frac{m}{m+1}$

[langtukoolly]

Bài 1 (5,0 đ)

1. Tìm giá trị của $m$ để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi số thực $x$
$$(2-log_{2}\frac{m}{m+1})x^2 - 2(1+log_{2}\frac{m}{m+1})x-2(1+log_{2}\frac{m}{m+1})<0$$
2. Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x+\sqrt{x^2-2x+2}=3^{y-1}+1 & \\ y+ \sqrt{y^2-2y+2}=3^{x-1}+1 & \end{matrix}\right.$$
Bài 2 (4,0 đ)

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $(2x+5y+1)(2^{|x|} + y +x^2 + x) = 105$.

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.

Bài 3 (3,0 đ)

Dãy số ${u_n}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}
u_1=a\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2-2\left \{ u_n \right \}^2}{[u_n]}
\end{matrix}\right.$
(Với $a \ge 1$ cho trước và kí hiệu $[a],\left \{a \right \}$ tương ứng chỉ phần nguyên và phần lẻ của số $a$.
Tìm $\lim _{n\to\infty }u_{n }$.

Bài 4 (6,0 đ).

1. Cho $\Delta ABC$ có $BC=a, AC=b, AB=c$ thỏa $c^4=a^4+b^4$. CMR $\Delta ABC$ nhọn và $2sin^2C=tan A. tan B$

2. Về phía ngoài $\Delta ABC$ nhọn dựng các tam giác đều $BCF,CAE,ABD$. CMR các đường thẳng lần lượt đi qua các trung điểm $M,N,P$ của các cạnh $BC,CA,AB$ và theo thứ tự vuông góc với các đường thẳng $DE,DF,EF$ đồng quy tại 1 điểm.

Bài 5 (2,0 đ).

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:

$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.

p/s:hi,mới thi hồi sáng!!mình làm có được bài 1,2,với bài 4:1\right ) à!!!nhưng lại...sai tùm lum hết!

Đề năm nay tỉnh mình ra dễ..... câu 1,2 cho không 9 điểm thêm câu hình lượng giak là đủ điểm đậu... Chỉ có mỗi câu giới hạn dãy là hơi vất vả thôi..........
Hihihi

[NLT]

Bài 3 (3,0 đ)

Dãy số ${u_n}$ được xác định như sau:
$\left\{\begin{matrix}
u_1=a\\u_{n+1}=\dfrac{u_n^2-2\left \{ u_n \right \}^2}{[u_n]}
\end{matrix}\right.$
(Với $a \ge 1$ cho trước và kí hiệu $[a],\left \{a \right \}$ tương ứng chỉ phần nguyên và phần lẻ của số $a$.
Tìm $\lim _{n\to\infty }u_{n }$.

Gợi ý câu dãy: ta tìm cách chứng minh $1< u_n < 2$ rồi suy ra giới hạn !
___

[davildark]

Bài 5 (2,0 đ).

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa:

$i)$ $f(0)=\frac{1}{2}$
$ii)$ Với mọi $x,y \in \mathbb{R}$ tồn tại $a \in \mathbb{R}$ sao cho:$ f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)$.

Cho $x=y=0$ ta có $\frac{1}{2}=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(a)\Rightarrow f(a)=\frac{1}{2}$
$y=0$ thì $f(x)=f(a-x)$
$\Rightarrow f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)=2f(x)f(y)$
$f(a)=f(a-x+x)=2f(a-x)f(x)=2(f(x))^2\Rightarrow (f(x))^2=\frac{1}{4}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 25-10-2012 - 18:43

[chagtraife]

các bạn có thể tham khảo câu phương trình hàm trong sách 'tuyển tập 200 bài thi vô địch toán' tập 8 pt hàm, bài 20 đấy!

[chagtraife]

Đề năm nay tỉnh mình ra dễ..... câu 1,2 cho không 9 điểm thêm câu hình lượng giak là đủ điểm đậu... Chỉ có mỗi câu giới hạn dãy là hơi vất vả thôi..........
Hihihi

hic!đúng là dễ thật!zậy mà làm sai mới đau chứ!câu 4 quên chứng minh tam giác nhọn!còn câu 1, giải ra đén đoạn $\frac{m}{m+1} \geq 2^{5}$ rồi mà để sai mất!

[BlackBot]

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng $\frac{ab}{c(b+c)} + \frac{bc}{a(c+a)} + \frac{ca}{b(a+b)} \ge \frac{3}{2}$.

Cách khác :
Sử dụng BDT B.C.S :
$\frac{a^2b^2}{abc(b+c)} + \frac{b^2c^2}{abc(c+a)} + \frac{c^2a^2}{acb(a+b)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 +2abc(a+b+c) \geq 3abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Mà $a^2b^2 +b^2c^2 \geq 2ab^2c$
Tương tự và cộng vào ta có :$a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Vậy bài toán hoàn toàn chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackBot: 28-10-2012 - 09:42

[NLT]

Cách khác :
Sử dụng BDT B.C.S :
$\frac{a^2b^2}{abc(b+c)} + \frac{b^2c^2}{abc(c+a)} + \frac{c^2a^2}{acb(a+b)} \geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(a+b+c)} \geq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 +2abc(a+b+c) \geq 3abc(a+b+c)$
$\Leftrightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Mà $a^2b^2 +b^2c^2 \geq 2ab^2c$
Tương tự và cộng vào ta có :$a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 \geq abc(a+b+c)$
$\Rightarrow a^2b^2 +b^2c^2 +c^2a^2 -abc(a+b+c) \geq 0$
Vậy bài toán hoàn toàn chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Đoạn chứng minh $(ab+bc+ca)^2 \ge 3abc(a+b+c)$ bạn có thể dùng bđt quen thuộc $(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)$ để đơn giản hơn nhé !
___

[namseohihi]

The cau hinh bai b khong ai giai a? Nho moi nguoi giai cho em voi

[maitienluat]

Gợi ý:
bài hình câu b có thể dùng định lý Carnot (điều kiện để 3 đường thẳng lần lượt vuông góc với 3 cạnh tam giác đồng quy) kết hợp với biến đổi đơn giản?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 19-12-2012 - 21:08