Chủ đề này có 1 trả lời

[Joker9999]

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn a+b+c>0.
Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{3a+4b+5c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ac}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 23-10-2012 - 10:27

[WhjteShadow]

Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn a+b+c>0.
Chứng minh rằng :
$\frac{ab}{3a+4b+5c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ac}{3c+4a+5b}\leq \frac{a+b+c}{12}$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\frac{\left(\frac{12}{5}\right)^2ab}{3a+4b+5c}\leq ab.\left(\frac{1}{\frac{5}{2}a+\frac{5}{2}c}+\frac{1}{\frac{5}{2}b+\frac{5}{2}c}+\frac{\left(\frac{1}{10}\right)^2}{\frac{1}{2}a}+\frac{\left(\frac{3}{10}\right)^2}{\frac{3}{2}b}\right)$$
$$\Rightarrow \frac{ab}{3a+4b+5c}\leq \frac{5}{72}.\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)+\frac{1}{288}.(b+3a)$$
Tương tự và cộng lại ta có:
$$\frac{ab}{3a+4b+5c}+\frac{bc}{3b+4c+5a}+\frac{ac}{3c+4a+5b}\leq \frac{5}{72}.\sum \left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\frac{1}{288}.4(a+b+c)$$
$$=\frac{5}{72}.(a+b+c)+\frac{1}{72}(a+b+c)=\frac{a+b+c}{12}$$
Chứng minh hoàn tất.Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c$

-------------------------------------------
Lời giải nhìn thật đơn giản phải không các bạn,nhưng không phải ai cũng có thể nghĩ ra.Nó bắt nguồn từ bất đẳng thức quen thuộc sau đây:
$$\frac{ab}{a+b+2c}+\frac{bc}{b+c+2a}+\frac{ca}{c+a+2b}\leq \frac{a+b+c}{4}\,\,(*)$$
Và tổng quát lên,với những bài có dạng:
$$\frac{ab}{\alpha a+\beta b+\gamma c}+\frac{bc}{\alpha b+\beta c+\gamma a}+\frac{ca}{\alpha c+\beta a+\gamma b}\leq \frac{a+b+c}{\alpha+\beta+\gamma}$$
Mà tr0ng đó $\alpha,\beta,\gamma$ thoả mãn điều kiện $\alpha,\beta\geq \frac{1}{2}.\gamma$ chúng ta đều có thể tách ghép để đưa về dạng $(*)$ nhờ việc đặt tham số và chọn điểm rơi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 23-10-2012 - 12:14