Chủ đề này có 1 trả lời

[phatthientai]

Đề thi HSG tỉnh Long An ngày 23-10-2012
Thời gian: 180 phút
Bảng A

Câu 1:
a) Giai phương trình sau trên tập số thực $$x+1=\left( 2x+1 \right)\sqrt{\sqrt{x+1}+2}$$
b) Giai hệ phương trình sau trên tập số thực $$\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+y=8 \\
& xy\left( {{y}^{2}}+xy+x+y \right)=12 \\
\end{align} \right.$$

Câu 2:
a. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai điểm $A\left( 1;2 \right),B\left( 4;3 \right)$. Tìm trên trục hoành điểm M sao cho góc $AMB$bằng ${{45}^{0}}$
b. Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng 6cm, trọng tâm G.Một đường thẳng qua G cắt AB, AC tại M, N sao cho $2AM=3AN$. Tính diện tích tam giác $AMN$
Câu 3: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$được xác định bởi $$\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=1 \\
& {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{2}^{n}} \\
\end{align} \right.$$ với mọi $n\ge 1$
a. Chứng minh ${{u}_{n}}={{2}^{n}}-1$
b. Tính tổng $S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+....{{u}_{n}}$ theo n
Câu 4: Cho các số thực dương a,b,c
a. Chứng minh rằng $$\left( 2+{{a}^{2}} \right)\left( 2+{{b}^{2}} \right)\ge \frac{9}{16}\left[ 2{{\left( a+b \right)}^{2}}+7 \right]$$
b. Tìm giá trị nhỏ nhất của $$P=\frac{\left( 2+{{a}^{2}} \right)\left( 2+{{b}^{2}} \right)\left( 2+{{c}^{2}} \right)}{{{\left( 3+a+b+c \right)}^{2}}}$$
Câu 5: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}m{{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}+\left( 4-3m \right)x+1$ có đồ thị là $\left( {{C}_{m}} \right)$, m là tham số. Tìm các giá trị của m để trên $\left( {{C}_{m}} \right)$ có duy nhất 1 điểm có hoành độ âm mà tiếp tuyến của $\left( {{C}_{m}} \right)$tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $d:x+2y=0$

[sogenlun]

Câu 3: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$được xác định bởi $$\left\{ \begin{align}
& {{u}_{1}}=1 \\
& {{u}_{n+1}}={{u}_{n}}+{{2}^{n}} \\
\end{align} \right.$$ với mọi $n\ge 1$
a. Chứng minh ${{u}_{n}}={{2}^{n}}-1$
b. Tính tổng $S={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+....{{u}_{n}}$ theo n

Ta có :
$$ u_{n}-u_{n-1} = 2^{n-1}$$
$$ u_{n-1}-u_{n-2} =2^{n-2} $$
$$...$$
$$ u_2 -u_1 = 2$$
Cộng $n-1$ đẳng thức trên ta được
$$ u_{n} = 2^{n-1}+2^{n-2}+...+2+1 = \dfrac{2^n-1}{2-1} = 2^n-1$$
Suy ra : $$S = u_1+u_2+....+u_n = 2^1+2^2+....+2^n - n = 1+2+2^2+...+2^n - (n+1) = 2^{n+1}-1-(n+1) =2^{n+1}-n-2$$