Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{x^7}{y^2+z^2}+\frac{y^7}{x^2+z^2}+\frac{z^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{18}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
minhson95

minhson95

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
Cho x,y,z>0 TM: $x^8+y^8+z^8=\frac{1}{27}$ CMR:

$\frac{x^7}{y^2+z^2}+\frac{y^7}{x^2+z^2}+\frac{z^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{18}$

#2
zookiiiiaa

zookiiiiaa

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Cho x,y,z>0 TM: $x^8+y^8+z^8=\frac{1}{27}$ CMR:

$\frac{x^7}{y^2+z^2}+\frac{y^7}{x^2+z^2}+\frac{z^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{18}$


Mình có ý tưởng này nhưng không biết đánh giá sao nữa mọi người giúp với.

Đặt
$x^2=a$
$y^2=b$
$z^2=c$

Từ gt $\rightarrow a^3+b^3+c^3=\frac{1}{27}$

BĐT cần CM $\leftrightarrow \frac{a^3}{\sqrt{a}(b+c)}+\frac{b^3}{\sqrt{b}(c+a)}+\frac{c^3}{\sqrt{c}(a+b)} \geq \frac{\sqrt{3}}{18}$

Đến đây thì không nghĩ được gì nữa!

#3
tuannd2009

tuannd2009

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
Dùng thử phương pháp chọn điểm rơi đi bạn

#4
minhson95

minhson95

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết

Dùng thử phương pháp chọn điểm rơi đi bạn

Bạn trình bày đi!

#5
minhson95

minhson95

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 520 Bài viết
Mình mới có cách giải cho BĐT trên xin được chia sẻ:

Theo c-s ta có $3(x^4+y^4+z^4) \geq (x^2+y^2+z^2)^2$

$\rightarrow 3(x^8+y^8+z^8) \geq (x^4+y^4+z^4)^2 \geq \frac{1}{9}(x^2+y^2+z^2)^4$

$\rightarrow x^2+y^2+z^2 \geq 27(x^8+y^8+z^8)=1 (1)$

Theo giả thiết $\rightarrow x,y,z \in (0,1)$

Từ (1) $\rightarrow \frac{1}{y^2+z^2} \geq \frac{1}{1-x^2}$ và các hoán vị còn lại

$\rightarrow \sum(\frac{x^7}{y^2+z^2}) \geq \sum(\frac{x^7}{1-x^2})=\sum(\frac{x^8}{x(1-x^2)})$

Xét hàm đặc trưng $f(t)=\frac{1}{t(1-t^2)}$ với $t \in (0,1)$
=================================
$\rightarrow minf(t)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\rightarrow \sum(\frac{x^8}{1-x^2}) \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{27}=\frac{\sqrt{3}}{18}$

$Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhson95: 27-10-2012 - 20:29


#6
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Cho x,y,z>0 TM: $x^8+y^8+z^8=\frac{1}{27}$ CMR:

$\frac{x^7}{y^2+z^2}+\frac{y^7}{x^2+z^2}+\frac{z^7}{x^2+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{18}$


Cách làm của mình chỉ dùng $Cauchy-Schwarz$ :)
Đặt $\sqrt{3}x=a,\sqrt{3}y=b,\sqrt{3}z=c$ ta có $a^8+b^8+c^8=3$ và cần chứng minh:
$$\frac{a^7}{b^2+c^2}+\frac{b^7}{a^2+c^2}+\frac{c^7}{a^2+b^2}\geq \frac{3}{2}$$
Nhưng do $8a^3\leq 3a^8+5$.Tương tự và cộng lại ta được $a^3+b^3+c^3\leq 3$
Nên ta sẽ chứng minh:
$$\frac{a^7}{b^2+c^2}+\frac{b^7}{a^2+c^2}+\frac{c^7}{a^2+b^2}\geq \frac{3(a^8+b^8+c^8)}{2(a^3+b^3+c^3)}$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\frac{a^7}{b^2+c^2}+\frac{b^7}{a^2+c^2}+\frac{c^7}{a^2+b^2}\geq \frac{(a^8+b^8+c^8)^2}{\sum a^9(b^2+c^2)}$$
Vậy cuối cùng chỉ phải chỉ ra:
$$\frac{(a^8+b^8+c^8)^2}{\sum a^9(b^2+c^2)}\geq \frac{3(a^8+b^8+c^8)}{2(a^3+b^3+c^3)}$$
$$\Leftrightarrow (a^8+b^8+c^8)(a^3+b^3+c^3)\geq \frac{3}{2}.[\sum a^9(b^2+c^2)]$$
$$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(a^2+ab+b^2)(a+b)^2(a^6-2a^4b^2+3a^3b^3-2a^4b^2+b^6)\geq 0$$
Nhưng mặt khác the0 bất đẳng thức $Schur$ thì:
$$a^6+b^6+a^3b^3+3a^3b^3\geq a^3b(a^2+ab)+b^3a(b^2+ab)+a^2b^2(a^2+b^2)$$
$$\geq 2(a^4b^2+a^2b^4)+2a^3b^3$$
$$\Rightarrow a^6-2a^4b^2+3a^3b^3-2a^4b^2+b^6\geq 0$$
Vậy biểu thức trên là tổng của những đại lượng $\geq 0$,hiển nhiên nó $\geq 0$
Ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy ra tại $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 28-10-2012 - 11:38

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh