Chủ đề này có 6 trả lời

[phungvanhung9x]

giúp e giải các bất pt;
1.Cho x,y,z>0 ; x+y+z=3. Chứng minh $\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{\sqrt{3z+xy}}\leq 1$
2.Cho a,b,c>0 ; a+b+c=1. Chứng minh $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1} \leq 0,25$

[no matter what]

giúp e giải các bất pt;
1.Cho x,y,z>0 ; x+y+z=3. Chứng minh $\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{\sqrt{3z+xy}}\leq 1$
2.Cho a,b,c>0 ; a+b+c=1. Chứng minh $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1} \leq 0,25$

cái này là BĐT bạn nhé
câu 1:sai đề ...đề đúng là với a,b,c dương có tổng bằng 3
$\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+zx}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\leq 1$

[Katyusha]

Bài 1:
Cauchy-Schwarz:
$$\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x(x+y+z)+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \le \dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$$
Tương tự như vậy cho 2 phân thức còn lại ta suy ra điều phải chứng minh

Bài 2:
Sử dụng BĐT quen thuộc: $\dfrac{1}{x+y} \le \frac{1}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})$
$$\dfrac{ab}{1+c}=\dfrac{ab}{c+a+c+b} \le \dfrac{ab}{4}\left[\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{c+b}\right]$$
Tương tự cho 2 phân thức còn lại, từ đó ta suy ra:
$$VT \le \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{b(a+c)}{c+a}+\dfrac{c(b+a)}{a+b}+\dfrac{a(b+c)}{c+b}\right]=\dfrac{1}{4}(a+b+c)=\dfrac{1}{4}$$

[phungvanhung9x]

$\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \le \dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}$??????
e chua hieu lam

[no matter what]

$\dfrac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}} \le \dfrac{x}{x+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}}$??????
e chua hieu lam

lời giải trên chắc có chút nhầm lẫn nhưng đúng về bản chất
$\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}$ (chỉ là ghi sai ẩn thôi)

[phungvanhung9x]

$\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}$ là sai rồi

[triethuynhmath]

giúp e giải các bất pt;
1.Cho x,y,z>0 ; x+y+z=3. Chứng minh $\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{\sqrt{3z+xy}}\leq 1$
2.Cho a,b,c>0 ; a+b+c=1. Chứng minh $\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1} \leq 0,25$

$\sqrt{(x+y)(x+z)}\leq \sqrt{xy}+\sqrt{xz}$ là sai rồi

Bạn đó ghi nhầm thôi mà: $\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sqrt{xz}+\sqrt{xy}$ Theo Bunyacopski thì nghịch đảo lại mới ra dấu $\leq$.
Còn câu còn lại:$\sum \frac{ab}{c+1}=\sum \frac{ab}{(a+c)+(b+c)}=\frac{1}{\frac{a+c}{ab}+\frac{b+c}{ab}}\leq \frac{1}{4}(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c})$(Áp dụng: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$
THiết lập tương tự cộng lại ra được: $VT\leq \frac{1}{4}(a+b+c)=\frac{1}{4}(Q.E.D)$