Chủ đề này có 4 trả lời

[cool hunter]

Kí hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số n ( n là số tự nhiên).
Tính $\sum_{n=1}^{2012}S(n)$

[nguyenta98]

Kí hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số n ( n là số tự nhiên).
Tính $\sum_{n=1}^{2012}S(n)$

Giải như sau:
$\sum_{n=1}^{2012}S(n)=\sum_{n=1}^{999}S(n)+\sum_{n=1000}^{1999}S(n)+\sum_{n=2000}^{2012}S(n)$
Ta xét $\sum_{n=1}^{999}S(n)=\sum_{n=0}^{999}S(n)$
Ta có từ $0$ đến $999$ thì ta có thể viết $000,001,002,...,009,010,011,...,099,100,...,999$ mà không sợ liên quan gì đến $S(n)$
Ta nhận thấy $\sum_{n=000}^{999}S(n)=[S(000)+S(999)]+[S(001)+S(998)]+...+[S(499)+S(500)]=27*500$
Như vậy $\sum_{n=1}^{999}S(n)=27*500$
Lại thấy $\sum_{n=1000}^{1999}S(n)=\sum_{n=000}^{999}S(n)+1000.1$ với $1000.1$ là tổng cs hàng nghìn
Suy ra $\sum_{n=1000}^{1999}S(n)=27*500+1000$
Giờ xét $\sum_{n=2000}^{2012}S(n)=77$
Vậy $\boxed{\sum_{n=1}^{2012}S(n)=27*500+27*500+1000+77=28077}$

[hxthanh]

Có thể áp dụng công thức này

$\sum\limits_{k=0}^n S(k)= \dfrac{n(n+1)}{2}+45\sum_{i=0}^\infty \left(10^i\left\lfloor\dfrac{n}{10^{i+1}}\right\rfloor^2\right)-9\sum_{i=0}^\infty \left((n+1-5.10^i)\left\lfloor\dfrac{n}{10^{i+1}}\right\rfloor\right)$

Với $n=2012$, ta có:

$\sum\limits_{k=0}^{2012} S(k)=\dfrac{2012. 2013}{2}+45\left(\left\lfloor\dfrac{2012}{10}\right\rfloor^2+10\left\lfloor\dfrac{2012}{100}\right\rfloor^2+100\left\lfloor\dfrac{2012}{1000}\right\rfloor^2\right)-9\left((2013-5)\left\lfloor\dfrac{2012}{10}\right\rfloor+(2013-50)\left\lfloor\dfrac{2012}{100}\right\rfloor+(2013-500)\left\lfloor\dfrac{2012}{1000}\right\rfloor\right)$

$=2025078+45(201^2+10. 20^2+100. 2^2)-9(2008. 201+1963. 20+1513. 2)$
$=28077$

[cool hunter]

Có thể áp dụng công thức này

$\sum\limits_{k=0}^n S(k)= \dfrac{n(n+1)}{2}+45\sum_{i=0}^\infty \left(10^i\left\lfloor\dfrac{n}{10^{i+1}}\right\rfloor^2\right)-9\sum_{i=0}^\infty \left((n+1-5.10^i)\left\lfloor\dfrac{n}{10^{i+1}}\right\rfloor\right)$

Với $n=2012$, ta có:

$\sum\limits_{k=0}^{2012} S(k)=\dfrac{2012. 2013}{2}+45\left(\left\lfloor\dfrac{2012}{10}\right\rfloor^2+10\left\lfloor\dfrac{2012}{100}\right\rfloor^2+100\left\lfloor\dfrac{2012}{1000}\right\rfloor^2\right)-9\left((2013-5)\left\lfloor\dfrac{2012}{10}\right\rfloor+(2013-50)\left\lfloor\dfrac{2012}{100}\right\rfloor+(2013-500)\left\lfloor\dfrac{2012}{1000}\right\rfloor\right)$

$=2025078+45(201^2+10. 20^2+100. 2^2)-9(2008. 201+1963. 20+1513. 2)$
$=28077$

C/m công thức này thế nào ạ?
$\sum\limits_{k=0}^n S(k)= \dfrac{n(n+1)}{2}+45\sum_{i=0}^\infty \left(10^i\left\lfloor\dfrac{n}{10^{i+1}}\right\rfloor^2\right)-9\sum_{i=0}^\infty \left((n+1-5.10^i)\left\lfloor\dfrac{n}{10^{i+1}}\right\rfloor\right)$

[hxthanh]

C/m công thức này thế nào ạ?
$\sum\limits_{k=0}^n S(k)= \dfrac{n(n+1)}{2}+45\sum_{i=0}^\infty \left(10^i\left\lfloor\dfrac{n}{10^{i+1}}\right\rfloor^2\right)-9\sum_{i=0}^\infty \left((n+1-5.10^i)\left\lfloor\dfrac{n}{10^{i+1}}\right\rfloor\right)$

Tìm ra nó không khó, nhưng vì nó "xấu xí" quá nên tôi mới chẳng buồn trình bày chứng minh

Theo định nghĩa: với mỗi số tự nhiên $k$ bất kỳ, ta có

$S(k)=$(chữ số đơn vị của $k$) $+$ (chữ số hàng chục của $k$) $+...= \sum\limits_{i=0}^{+\infty} T_i(k) $

trong đó: $T_i(k)$ là chữ số hàng $10^i$ của $k$

Do $\left\lfloor\dfrac{k}{10^i}\right\rfloor$ có ý nghĩa là : cắt bỏ $i$ chữ số tận cùng của $k$

Nên ta có: $\quad T_i(k)=\left\lfloor\dfrac{k}{10^i}\right\rfloor-10\left\lfloor\dfrac{k}{10^{i+1}}\right\rfloor$

Như vậy:
$\sum\limits_{k=1}^n S(k) = \sum\limits_{k=1}^n \sum\limits_{i=0}^{+\infty}\left(\left\lfloor\dfrac{k}{10^i}\right\rfloor-10\left\lfloor\dfrac{k}{10^{i+1}}\right\rfloor\right)=\sum\limits_{i=0}^{+\infty} \left( \sum\limits_{k=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{k}{10^i}\right\rfloor-10\sum\limits_{k=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{k}{10^{i+1}}\right\rfloor\right)$

Đến đây áp dụng công thức này $\sum\limits_{k=1}^n \left\lfloor\dfrac{k}{m}\right\rfloor=\left(n+1-\dfrac{m}{2}\right)\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor-\dfrac{m}{2}\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor^2$

Ta được điều phải chứng minh $\blacksquare$