Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$$p^{2} \leqslant 6R^{2} + 3r^{2}$$

lượng giác

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Kienlai

Kienlai

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-10-2012 - 16:07

Em thấy box BĐT Chưa nhiều bài Bất lượng giác, nên em mạnh dạn đăng mấy bài////// :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol:

Chứng minh trong tam giác ABC luôn có:

1. $$p^{2} \leqslant 6R^{2} + 3r^{2}$$



2. $$\sqrt{\frac{15}{4} + cos(A-B) + cos(B-C)+cos(C-A)}\geqslant sinA+sinB+sinC$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kienlai: 26-10-2012 - 15:25


#2 dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Đọc fanfiction và theo dõi DOTA chuyên nghiệp

Đã gửi 25-10-2012 - 21:10

Chứng minh trong tam giác ABC luôn có:

1. $$p^{2} \leqslant 6R^{2} + 3r^2$$

Ta chứng minh 1 BĐT chặt hơn là $p^2 \le \frac{(4R+r)^2}{3}$ :)
Ký hiệu $r_{a};r_{b};r_{c}$ là bán kính các đường tròn bàng tiếp tam giác ABC.Dễ dàng có các hệ thức sau:
  • $r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=p^2$
  • $r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r$
Theo AM-GM:
$$(r_{a}+r_{b}+r_{c})^2 \ge 3\sum_{cyc}r_{a}r_{b} \iff p^2 \le \frac{(4R+r)^2}{3}$$
Xong.

P/s:Cái bài b bạn làm ơn xem lại giùm đề :P
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3 Kienlai

Kienlai

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-10-2012 - 15:26

Em gõ nhầm 4 thành

Ta chứng minh 1 BĐT chặt hơn là $p^2 \le \frac{(4R+r)^2}{3}$ :)
Ký hiệu $r_{a};r_{b};r_{c}$ là bán kính các đường tròn bàng tiếp tam giác ABC.Dễ dàng có các hệ thức sau:

  • $r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=p^2$
  • $r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r$
Theo AM-GM:
$$(r_{a}+r_{b}+r_{c})^2 \ge 3\sum_{cyc}r_{a}r_{b} \iff p^2 \le \frac{(4R+r)^2}{3}$$
Xong.

P/s:Cái bài b bạn làm ơn xem lại giùm đề :P

SR, em gõ nhầm 14 thành a

#4 Kienlai

Kienlai

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-10-2012 - 15:52

b)
Ta có BĐT chứng minh tương đương với:

$$(sinA+sinB+sinC)^{2}\leq \frac{15}{4}+cos(A-B)+cos(B-C)+cos(C-A)$$
$$\Leftrightarrow cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+(cosAcosB-sinAsinB)+(cosBcosC-sinBsinC)+(cosCcosA-sinCsinA)+\frac{3}{4}\geq 0$$ (1)
ở đây ta sử dụng : công thức hạ bậc $$sin^{2}A=\frac{1}{2}(1-cos2A)$$

$$cos^{2}A=\frac{1}{2}(1+cos2A)$$

(1) $$\Leftrightarrow cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C+cos(A+B)+cos(B+C)+cos(C+A)+\frac{3}{4}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C-(cosA+cosB+cosC)+\frac{3}{4}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (cosA-\frac{1}{2})^{2}+(cosC-\frac{1}{2})^{2}+(cosB-\frac{1}{2})^{2}\geq 0$$ (luôn đúng)
ĐCCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kienlai: 26-10-2012 - 15:54






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh