13 replies to this topic

[ntnt]

Giải phương trình: $$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$$

[N H Tu prince]

Giải phương trình: $$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$$

DKXD:$x\geq 1$ hoặc $x\leq -3$
$PT<=>\sqrt{(x+1)(x+3)}+\sqrt{(x-1)(x+1)}-2(x+1)=0<=>\sqrt{x+1}(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1})=0$
*$\sqrt{x+1}=0<=>x=-1$ (không thỏa mãn)
*$\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+1}$,bình phương=>pt vô nghiệm

[haianhngobg]

Còn trường hợp x=-1 trong dkxd nữa
Pt có 1 nghiệm x=-1

[zipienie]

Ta đặt các điều kiện để căn thức có nghĩa:$2x^2+8x+6\geq 0 \iff x \leq 3, x\geq -1$
$x^2-1\geq 0\iff x\leq -1, x\geq 1$ và $2x+2\geq 0 \iff x\geq -1$.
Từ đây ta tìm được $x=-1$ và $x\leq -3,x\geq 1$
Vậy $x=-1$ là một nghiệm
Với $x\leq -3$ thì $VT>0$ còn $VP<0$ nên trường hợp này phương trình vô nghiệm.
Đặt $u=\sqrt{2x^2+8x+6} \geq 0$ và $v=\sqrt{x^2-1} \geq 0$,
khi đó ta có hệ $$\begin{cases} u+v=2x+2\\ u^2-v^2=x^2+8x+1\end{cases}$$
Từ đây ta tìm được $v=\dfrac{3x-3}{4}$ (ta không xét $x=-1$ vì nó đã là nghiệm)
Vậy $\sqrt{x^2-1}=\dfrac{3x-3}{4}$ và ta dễ dàng tìm được $x=1$ là nghiệm (thỏa mãn điều kiện)


Vậy $x=\pm 1$ là các nghiệm cần tìm.

Edited by zipienie, 25-10-2012 - 21:32.

[Mai Duc Khai]

Giải phương trình: $$\sqrt{2x^2+8x+6}+\sqrt{x^2-1}=2x+2$$

\[\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + 8x + 6} + \sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 2\left( 1 \right)\\
\Rightarrow DKXD:\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 8x + 6 \ge 0\\
{x^2} - 1 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1;x \le - 3\\
x \ge 1;x \le - 1
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \left[ {\sqrt {2\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x + 1} } \right] = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} = 0\\
\sqrt {2\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x + 1} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 1
\end{array} \right.\left( {True} \right)
\end{array}\]
Vậy : $S={-1;1}$

[chaugaihoangtuxubatu]

đk : $x\leq-3$;$x\geq1$
Xét x=-1 => t/m pt => x=-1 là 1 nghiệm của pt
Xét x=-3 => ko t/m pt => x=-3 ko là nghiệm của pt
Với $x\geq1$
$\Rightarrow\sqrt{x+1}(\sqrt{2(x+3)}+\sqrt{x-1})=2(x+1)$
$\Rightarrow\sqrt{2(x+3)}+\sqrt{x-1}=2\sqrt{x+1}$
$\Rightarrow2(x+3)+2\sqrt{2(x+3)(x-1)}+(x-1)=4(x+1)$
$\Rightarrow2\sqrt{2(x+3)(x-1)}=x-1$
$\Rightarrow8x^2+16x-24=x^2-2x+1$
$\Rightarrow7x^2+18x-25=0$
$\Rightarrow x=1(t/m);x=\frac{-25}{7}(ko t/m)$
Với $x<-3$
$\Rightarrow$ VT$=2(x+1)\leq-4$
Mà VP luôn $\geq0$
=> pt vô nghiệm với $x\leq-3$
Vậy pt có nghiệm x=-1 và x=1

[chaugaihoangtuxubatu]

\[\begin{array}{l}
\sqrt {2{x^2} + 8x + 6} + \sqrt {{x^2} - 1} = 2x + 2\left( 1 \right)\\
\Rightarrow DKXD:\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} + 8x + 6 \ge 0\\
{x^2} - 1 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1;x \le - 3\\
x \ge 1;x \le - 1
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} - 2\left( {x + 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \left[ {\sqrt {2\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x + 1} } \right] = 0\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 1} = 0\\
\sqrt {2\left( {x + 3} \right)} + \sqrt {x - 1} - 2\sqrt {x + 1} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 1
\end{array} \right.\left( {True} \right)
\end{array}\]
Vậy : $S={-1;1}$

Làm thế nào để đặt được $\sqrt{x+1}$ ra ngoài vậy?Vì với x<-1 (có trong điều kiện) thì $\sqrt{x+1}$ không tồn tại mà.

[minhdat881439]

Tất cả các bài giải trên đặt điều kiện chưa đúng chuẩn phải là:
$\left \{ -1 \right \} \cup \left \{ 1;+\infty \right \}$
p\s đã fix thank chú khải

Edited by minhdat881439, 25-10-2012 - 21:45.

[chaugaihoangtuxubatu]

Tất cả các bài giải trên đặt điều kiện chưa đúng chuẩn phải là:
$\left \{ -1 \right \} \cap \left \{ 1;+\infty \right \}$

Em chưa học những kí hiệu này, ý anh cái này nghĩa là : tập hợp x thuộc đkxđ ở đây là giao của tập x={-1} với tập "x = 1 cho đến vô tận" phải không ạ?

[Mai Duc Khai]

Tất cả các bài giải trên đặt điều kiện chưa đúng chuẩn phải là:
$\left \{ -1 \right \} \cap \left \{ 1;+\infty \right \}$

Thể loại của nó phải là: \[{\rm{\{ }}-1\} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\]

Edited by Buoc Ngoat, 25-10-2012 - 21:41.

[haianhngobg]

Em chưa học những kí hiệu này, ý anh cái này nghĩa là : tập hợp x thuộc đkxđ ở đây là giao của tập x={-1} với tập "x = 1 cho đến vô tận" phải không ạ?

Đk đúng là như bạn nói. Nhưng đk ở đây phải là {-1}$\cup$[1;+$\infty$). Có nghĩa là hợp của 2 tập hợp con {-1} và [1;+$\infty$). Cần nói rõ ở đây là đk có nghiệm cua Pt là 2x+2>=0 $\Leftrightarrow$ x>=-1. Như vậy loại được trừơng hợp x<=-3

[mekjpdoj]

đk là $x\geq 1, x\leq -3, x= -1$

[chaugaihoangtuxubatu]

đk là $x\geq 1, x\leq -3, x= -1$

Đk này, như
haianhngobg

đã nói ở trên thì vẫn còn chỗ thiếu sót. Cụ thể như sau :
Có : VT của pt luôn $\geq0$ => VP = 2x +1 $\geq0$ => $x\geq0$
Như vậy đk $x\leq-3$ bị loại.
Tức là chỉ còn điều kiện là x = -1 và $x\geq1$ thôi.

[mekjpdoj]

à, quên nhìn vế phải