Lời giải:a) $A$ là trực tâm của $\vartriangle KNB$ nên $\left( {KA;KB} \right) \equiv \left( {NB;NA} \right)\left( {\bmod \pi } \right)$
$M,N$ đối xứng qua $I$ nên
\[
\begin{array}{l}
\left( {NB;NA} \right) \equiv \left( {MA;MB} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\Rightarrow \left( {KA;KB} \right) \equiv \left( {MA;MB} \right)\left( {\bmod \pi } \right) \\
\end{array}
\]
Suy ra $K,M,A,B$ đồng viên hay $K$ nằm trên $(O)$.
Khi đó, $DE$ chính là đường thẳng Simpson $(d)$ ứng với điểm $K$ đối với $\vartriangle ABC$.
Ta có: $V_{K}^{2}: d \to d'$.
Do đó $(d')$ là đường thẳng Steiner của $K$ đối với $\vartriangle ABC$.
Theo tính chất quen thuộc thì $H \in (d')$. Vẽ $L$ là giao điểm của $d$ với $HK$.
Ta có:
\[
V_K^{\frac{1}{2}} :\left\{ \begin{array}{l}
d' \to d \\
\left( {HK} \right) \to \left( {HK} \right) \\
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ H \right\} = d' \cap \left( {HK} \right) \mapsto d \cap \left( {HK} \right) = \left\{ L \right\}
\]
Như vậy, $L$ là trung điểm $HK$ hay $DE$ đi qua trung điểm $HK$.
b) Bạn chỉ cần dùng phép vị tự tâm $I$, tỉ số $-\dfrac{1}{3}$, biến $M$ thành $G$.