Chủ đề này có 2 trả lời

[princeoflove]

Câu 1 Xác định $m$ để hệ sau có ít nhất một nghiệm $x;y>0$
$$ \begin{cases}x+2xy+y=2m+1 \\ x^2y+xy^2=m \end{cases} $$
Câu 2 Tìm $m$ để bất phương trình có nghiệm

$\left | x^2-4x+m \right |\le x-2$

Câu 3 Cho 2012 số không âm $x_{1};x_{2};...;x_{2012}$ thỏa điều kiện

$\begin{cases}x_{1}+x_{2}+...+x_{2012}=3 \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{2012}^{2}=1\end{cases}$

Chứng minh rằng tồn tại 3 số $x_{i};x_{j};x_{k}(i,j,k\in \left \{ 1;2;...;2012 \right \})$ sao cho $x_{i}+x_{j}+x_{k}\ge 1$
Câu 4 Cho đường tròn tâm $O$ và dây cung $AB$. Một điểm $E$ (khác $A$ và $B$). Qua $E$ kẻ dây cung $CD$ (khác $AB$ ) của đường tròn $(O)$. Trên tia $DA$ lấy điểm $P$, trên $DB$ lấy $Q$ sao cho $P,Q$ đối xứng nhau qua $E$. Chứng minh rằng đường tròn tiếp xúc với $PQ$ tại $E$ và đi qua $C$ luôn đi qua 1 điểm cố định $E$ di chuyển trên dây $AB$.
Câu 5 Có tồn tại hay không một đa thức $P(x)$ bậc 503 sao cho $P(x^2-503)$ chia hết cho $P(x)$.
Câu 6 Cho dãy số $(u_{n})$ được xác định như sau, $\forall n\ge 1$

$\begin{cases}u_{1}=3 \\ u_{n+1}=u_{n}^{2}-2\end{cases}$

Tìm $$ \lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{u_{n+1}}{u_{1}u_{2}...u_{n}} $$

[princeoflove]

Câu 1 Giải PT và HPT sau
a/ $\tan^2 x=\dfrac{\cos^3 x-1}{\sin^3 x-1}$
b/ $\begin{cases} (x+1)^2(y+1)^2=-9xy \\ (x^2+1)(y^2+1)=-10xy \end{cases}$

Câu 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình
$\sqrt{x+4\sqrt{x+4\sqrt{x+4\sqrt{5x}}}}=x$

Câu 3
a/ Chứng minh rằng $\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}+\dfrac{x}{2}>1 \forall x>0$
b/ Cho $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}$ và $S_{n}=f\left ( \dfrac{1}{n^2} \right )+f\left ( \dfrac{2}{n^2} \right )+...+f\left ( \dfrac{n}{n^2} \right )$
Tìm $$\lim_{n \to \infty } S_{n}$$
Câu 4 Cho $\Delta ABC$ nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Trên DE lấy K sao cho DK=DH. Qua K dựng đường thẳng vuông góc với DE cắt AD tại I. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh $BM=MI+IK$
Câu 5 Cho dãy số gồm 2012 số không âm $(x_{1};x_{2};...x_{2012})$ thỏa mãn điều kiện
a/ $x_{1}=x_{2012}=2012$
b/ $x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_{n-1}^{2}+x_{n-1}$ Với $2\le n\le 2011$
Xác định $x_{2000}$

[sonnl99]

3a $\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{x}{2}-1$
$= \frac{1}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+1}-2+\frac{(\sqrt{x+1}-1)^2}{2}>0$
$\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x+1}}+\frac{x}{2}> 1$