Chủ đề này có 29 trả lời

[Gioi han]

Gọi số cần tìm là $a_{1}a{2}…a{10}$
TH: $a_{1}=6$ ta có $a_{1}$ có một cách chọn,2 số $6$ còn lại có $C^{2}_{9}$ cách chọn.Các số còn lại có $7!$ cách chọn
$\Rightarrow$ có : $ C^{2}_{9}.7!=181440$ cách chọn
TH: $a \neq 6$ ta có :$a_{1}$ có $6$ cách chọn,số $6$ có $C^{3}_{6}$ cách sắp xếp,các số còn lại có $6!$ cách chọn
$\Rightarrow $ có $6.C^{3}_{9}.6!=362880$ cách chọn
Vậy có tất cả $544320$ cách chọn.

[Gioi han]

Gọi số cần tìm là $a_{1}a_{2}…a_{10}$
TH: $a_{1}=6$ ta có $a_{1}$ có một cách chọn,2 số $6$ còn lại có $C^{2}_{9}$ cách chọn.Các số còn lại có $7!$ cách chọn
$\Rightarrow$ có : $ C^{2}_{9}.7!=181440$ cách chọn
TH: $a \neq 6$ ta có :$a_{1}$ có $6$ cách chọn,số $6$ có $C^{3}_{6}$ cách sắp xếp,các số còn lại có $6!$ cách chọn
$\Rightarrow $ có $6.C^{3}_{9}.6!=362880$ cách chọn
Vậy có tất cả $544320$ cách chọn.

_____________
Điểm bài làm: 10

$S=\left\lfloor\dfrac{52-25}{2}\right\rfloor+3\times 10+0+0=43$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-10-2012 - 16:09

[longqnh]

Cho các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7$, có thể lập bao nhiêu số có $10$ chữ số trong đó chữ số $6$ được lặp lại $3$ lần và chữ số còn lại xuất hiện đúng $1$ lần?

Toán thủ ra đề
mekjpdoj

Bài giải trận 9 - longqnh - MHS13
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcdefghij}$
- TH1: $a=6$
Chọn $a$: $1$ (cách)
Xếp số $6$ vào $2$ trong $9$ vị trí còn lại: $C_{9}^{2}$ (cách)
Xếp $7$ số còn lại vào $7$ vị trí còn lại: $7^7$ (cách)
$\Rightarrow$ TH này có $1.C_{9}^{2}.7^7$ (cách) chọn

- TH2: $a\neq6$
Chọn $a$: $6$ (cách) vì $a\neq6$ và $a\neq0$
Xếp số $6$ vào $3$ trong $9$ vị trí còn lại: $C_{9}^{3}$ (cách)
Xếp $7$ số còn lại vào $6$ vị trí còn lại: $7^6$ (cách)
$\Rightarrow$ TH này có $6.C_{9}^{3}.7^6$ (cách) chọn
Vậy tổng cộng có $1.C_{9}^{2}.7^7+6.C_{9}^{3}.7^6=\boxed{88942644}$ (cách) chọn thỏa mãn YCBT
_________________
Sai lầm trong phép đếm!
Điểm bài làm: $d=0$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-29}{2}\right\rfloor+3\times 0 +0+0=11$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-10-2012 - 16:33

[chagtraife]

mở rộng:xét bài toán sau:
cho tập E gồm n chữ số khác nhau, ta có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm $n+k_1+k_2+...+k_m-m$ chữ số,trong đó chữ số $i_1$ xuất hiện $k_1$ lần,$i_2$ xuất hiện $k_2$ lần,...,$i_m$ xuất hiện $k_m$ lần,các chữ số khác xuất hiện 1 lần($i_j$$\in$E)(trong E có chữ số 0,$i_j\neq$0)
giải:
bộ ($E,i_1,...i_1,i_2...i_2,...i_m...i_m$)($i_j...i_j$ gồm k-1 chữ số $i_j$,trong E có 1 chữ số $i_j$ nữa)
sẽ tạo ra được các số có $n+k_1+k_2+...+k_m-m$chữ số dạng:
$\alpha =\overline{a_1a_2a_3...a_{n+k_1+k_2+...+k_m-m}}$
từ đó suy ra :
*$a_1$ có $n+k_1+k_2+...+k_m-m-1$ cách chọn
*$a_2,...,a_{n+k_1+k_2+...+k_m-m}$ là 1 bộ phân biệt được chọn từ $n+k_1+k_2+...+k_m-m-1$ chữ số còn lại, do đó nó là 1 hoán vị của $n+k_1+k_2+...+k_m-m-1$ phần tử
mà chữ số $i_j$ lặp lại $k_j$ lần
Vậy,số các số thỏa mãn đk bài toán là:
$\frac{(n+k_1+k_2+...+k_m-m-1)(n+k_1+k_2+...+k_m-m-1)!}{k_1!.k_2!...k_m!}$ số
_____________________

Mở rộng đúng nhưng hơi bị tối nghĩa!

$d_{mr}=10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-10-2012 - 17:08

[sogenlun]

Cho các chữ số $0,1,2,3,4,5,6,7$, có thể lập bao nhiêu số có $10$ chữ số trong đó chữ số $6$ được lặp lại $3$ lần và chữ số còn lại xuất hiện đúng $1$ lần?

$\bullet $ TH1 : Chữ số $6$ đứng đầu . Số cách sắp $2$ số $6$ còn lại là $C_9^2$ . tương ứng với mỗi cách đó sẽ có $7!$ cách sắp xếp $7$ chữ số còn lại. Và tổng số cách trong trường hợp này là : $7!.C_9^2$

$\bullet $ TH2 : Chữ số $6$ không đứng đầu. Sẽ có $8$ cách chọn chữ số đứng đầu. tương ứng với mỗi cách đó sẽ có $C_9^3$ cách đặt $3$ chữ số $6$, vỡi mỗi cách này lại có $6!$ cách đặt $6$ chữ số còn lại . Số cách trong trường hợp này là $8.6!.C_9^3$.
Kết hợp 2 trường hợp ta được tổng số cách là $8.6!.C_9^3+7!.C_9^2= 665280$.
__________________________________
Điểm bài làm: $d=0$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-48}{2}\right\rfloor+3\times 0+0+0=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-10-2012 - 17:22

[songvui000]

MỞ RỘNG:
Cho n+1 chữ số 0,1,2,..n để lập số có m chữ số trong đó có K số với số lần xuất hiện khác nhau. ví dụ số $k_{1}$ xuất hiện với số lần xuất hiện là $h_{1}$. Các chữ số còn lại xuất hiện nhiều nhất một lần hoặc 1 lần.
Trong đó $m\geq h_{1}+h_{2}+h_{3}+..+h_{k}$
và $n-k+h_{1}+h_{2}+..+h_{k}\geq m$
Gọi số cần tìm là $\overline{a_{1}a_{2}..a_{m}}$.
TH1: các chữ số còn lại xuất hiện nhiều nhất 1 lần.
K số có số lần lặp trên đều xuất hiện nên còn $m-(h_{1}+h_{2}+..+h_{k})$ chỗ trống để xếp $n-k$ số vào.
Tức là $C_{n-k}^{m-(h_{1}+h_{2}+..+h_{k})}$. Hoán vị của m số là m!. Cách sắp xếp chưa tính hoán vị của các số giống nhau bị trùng. Để giải quyết vấn đề bị trùng ta chia $h_{1}!h_{2}!..h_{k}!$.
vì ta chưa xét trường hợp $a_{1} \neq 0$
nên số lập được là
$\frac{C_{n-k}^{m-(h_{1}+h_{2}+..+h_{k})}m!}{h_{1}!h_{2}!..h_{k}!}-\frac{C_{n-k-1}^{m-(h_{1}+h_{2}+..+h_{k})-1}(m-1)!}{h_{1}!h_{2}!..h_{k}!}$
TH2: các chữ số còn lại xuất hiện 1 lần
Tương tự ở trên nhưng khác ở chỗ $n-k+h_{1}+h_{2}+..+h_{k}=m$
nên biểu thức trên được rút gọn còn $\frac{m!}{h_{1}!h_{2}!..h_{k}!}-\frac{(m-1)!}{h_{1}!h_{2}!..h_{k}!}$

Có vấn đề sai sót về cách giải thích mong chấm nhẹ tay giùm ạ.
_______________________________
Mở rộng này nhìn thì khá tổng quát nhưng chưa đúng!

Kết quả sẽ sai nếu số yêu cầu được lặp $h$ lần là số $0$

Để kết quả trên chính xác thì yêu cầu là số $k_i\ne 0$ được lặp $h_i$ lần
Cần phải bỏ đi trường hợp 2 vì nó chỉ là trường hợp riêng.

Điểm mở rộng: $d_{mr_2}=5 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-10-2012 - 17:17

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[hxthanh]

Như vậy là việc chấm bài đã xong!

NHẬN XÉT!
Đây là một bài toán tương đối dễ, nói đúng hơn nó chỉ là một bài tổ hợp lặp! Vì vậy việc mở rộng trên đối tượng chữ số nói chung là hơi tối! (các mở rộng chẳng khác gì nhau)
Tôi kết nhất một mở rộng khác đi chút xíu: đó là cho chữ số $0$ lặp với số lần lớn hơn $1$ của bạn minh29995
Vẫn có một vài bạn giải sai!

Điểm cho Toán thủ ra đề
$D_{rd}=4\times 0 +3\times 13+2\times 2 +30=73$

[luuxuan9x]

Như vậy là việc chấm bài đã xong!

NHẬN XÉT!
Đây là một bài toán tương đối dễ, nói đúng hơn nó chỉ là một bài tổ hợp lặp! Vì vậy việc mở rộng trên đối tượng chữ số nói chung là hơi tối! (các mở rộng chẳng khác gì nhau)
Tôi kết nhất một mở rộng khác đi chút xíu: đó là cho chữ số $0$ lặp với số lần lớn hơn $1$ của bạn minh29995
Vẫn có một vài bạn giải sai!

Điểm cho Toán thủ ra đề
$D_{rd}=4\times 0 +3\times 13+2\times 2 +30=73$

Em có khiếu nại:Bài mở rộng của em tui còn thiếu trường hợp trong $m$ số không có số $0$.Nhưng nếu xét trong phạm vi bài này (chắc chắn có số $0$ thì bài giải của em vẫn đúng.Xin BGK xem xét lại cho em.

[hxthanh]

Em có khiếu nại:Bài mở rộng của em tui còn thiếu trường hợp trong $m$ số không có số $0$.Nhưng nếu xét trong phạm vi bài này (chắc chắn có số $0$ thì bài giải của em vẫn đúng.Xin BGK xem xét lại cho em.

Xin được trả lời em như sau:
- Theo quy định: mở rộng đúng mới được điểm, không chấm điểm bài mở rộng. Đề bài mở rộng của em chưa xác định là có số $0$ trong $m$ số đã cho hay không, nhưng lời giải của em đã mặc nhiên là có số $0$ đương nhiên kết quả là không chính xác!
- Một lỗi tương tự về đề bài của toán thủ chagtraife ở post #16 cũng không được điểm!