Chủ đề này có 7 trả lời

[TRONG TAI]

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả

Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 26/10/2012, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 10 có 24 toán thủ tham gia nên trận này không áp dụng luật loại trực tiếp.

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

3) Toán thủ nào tự ý sửa bài sau khi trận đấu kết thúc sẽ được 0 điểm.

4) Từ trận 8, điều lệ có sự thay đổi:

- Sau mỗi trận, sẽ có một số toán thủ bị loại theo thứ tự ưu tiên sau:
+ Điểm xét bị loại thấp hơn
+ Tham gia lâu hơn mà chưa ra đề
+ Số báo danh nhỏ hơn

- Gọi $D_{rd}$ là điểm của toán thủ ra đề:
$$D_{rd}= 4*\left (t_{lb1} - t_{bd} \right ) + 3*n_{klb} + 2*n_{mr} + 30$$

* Gọi $S$ là điểm của toán thủ làm bài.
$$S = \left [\frac{52 - \left (t_{lb} - t_{rd} \right )}{2} \right ]+3*d+d_{mr}+d_{t}$$
Trong đó:
Kí hiệu $[x]$ chỉ phần nguyên của số thập phân $x$.

Đề bài:
Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn $f((x+1)f(y))=y(f(x)+1), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Toán thủ ra đề: nthoangcute

Thời gian làm bài tính từ lúc 8h 17 phút 26/10/2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TRONG TAI: 26-10-2012 - 20:18

[E. Galois]

Đề bài:
Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f((x+1)f(y))=y(f(x)+1), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Toán thủ ra đề: nthoangcute

Thời gian làm bài tính từ lúc 8h 17 phút 26/10/2012

[Trần Đức Anh @@]

Kí hiệu $(*)$ là phương trình hàm đã cho.
Lần lượt cho $x=-1$, $y=0$ ta có $f(0)=y(f(-1)+1)$, $\forall{y\in\mathbb{R}}$ do đó $f(0)=0$, $f(-1)=-1$. Cho $x=0$ ở $(*)$ ta có $f(f(x))=x$, $\forall{x\in\mathbb{R}}$ $(1)$
Cho $y=f(1)$ ở $(*)$ và sử dụng $(1)$ ta có: $f(x+1)=f(1)(f(x)+1)$, $\forall{y\in\mathbb{R}}$ $(2)$
Tiếp tục cho $x=-2$ ta có $-1=f(1)(f(-2)+1)$
Ở $(*)$, cho $x=-2$, $y=-1$ ta có: $f(1)=-(f(-2)+1)$.
Do đó $f(1)=1$ do $f$ song ánh (từ $(1)$). (Cần chứng minh rõ tính song ánh, một tính chất rất quan trọng trong lập luận)
Và vì vậy: $f(x+1)=f(x)+1$, $\forall{y\in\mathbb{R}}$
Ta sẽ chứng minh $f$ vừa là hàm nhân tính vừa là hàm công tính, thật vậy:
$f(xy)=f(x.f(f(y)))=f([(x-1)+1]f(f(y))=f(y)(f(x-1)+1)=f(x)f(y)$
Từ đó: $f(x)=f(\sqrt{x}.\sqrt{x})=f(\sqrt{x})^2\geq{0}$, $\forall{x\geq{0}}$, $f(x)=0$ tương đương với $x=0$.
Với $y\neq{0}$ thì $f(x+y)=f((\frac{x}{y}+1)y)=f(y)f(\frac{x}{y}+1)=f(y)f(\frac{x}{y})+f(y)=f(x)+f(y)$ (vì $f$ nhân tính)
Vậy nên $f(x)=ax$ thay vào lại $(*)$ ta được $a=1$. Vậy $f(x)=ax$, $\forall{x}\in\mathbb{R}$.
(Theo PTH Cauchy?)
___________
Điểm bài làm: $d=9$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-16}{2}\right\rfloor+3\times 9+0+0=45$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-10-2012 - 13:14

[luuxuan9x]

Đề bài:
Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f((x+1)f(y))=y(f(x)+1), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Toán thủ ra đề: nthoangcute

Thời gian làm bài tính từ lúc 8h 17 phút 26/10/2012

Phương trình hàm em không được học nên em chỉ có thể làm được đến đây,hi vọng được và điểm để được tiếp tục thi MO.

Chọn $x=-1,y=0$ ta có $f(0)=0$.

Chon $x=0$ ta có $f(f(y))=y$

Thay $x$ bởi $f(x)$,$y$ bởi $f(y)$ ta có $f((f(x)y+y)=f(y).(x+1)$

Đến đây là hết kiến thức về phương trình hàm của em
__________________________
Điểm bài làm: $d=0$
$S=\left\lfloor\dfrac{52-24}{2}\right\rfloor+3\times 0 + 0 + 0 = 14$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-10-2012 - 13:14

[Thái Vũ Hoàng Anh]

Đề bài:
Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f((x+1)f(y))=y(f(x)+1), \forall x,y \in \mathbb{R}$$

Toán thủ ra đề: nthoangcute

Thời gian làm bài tính từ lúc 8h 17 phút 26/10/2012

Thay $x=0; y=0$ ta có : $f(f(0))=0$
Thay $x=f(0); y=0$ ta có: $f(0)=f(0)(f(0)+1) \Rightarrow f(0)=0$
Thay $x=-1; y=1$ ta có: $f(0)=f(-1)+1 \Rightarrow f(-1)=-1$
Thay $x=0$ ta có: $f(f(y))=y, \forall y \in \mathbb{R}$

- Nếu $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow f(f(x_{1}))=f(f(x_{2})) \Rightarrow x_{1}=x_{2}$
$\Rightarrow f(x) là đơn ánh$
- Lại có : $\forall a \in \mathbb{R} \exists x=f(a): f(x)=f(f(a))=a \Rightarrow f(x)$ là toàn ánh
$\Rightarrow f(x)$ là song ánh
mà $f(0)=0; f(-1)=-1 \Rightarrow f(1) \neq 0; f(1) \neq -1$
Thay $y=f(1)$ ta có: $f((x+1)f(f(1)))=f(1)(f(x)+1) \Rightarrow f(x+1)=f(1)(f(x)+1), \forall x,y \in \mathbb{R}$
Ta có: $f((x+1)f(y))= \frac{f(1)(f(x)+1)y}{f(1)}\Rightarrow f((x+1)f(y))=\frac{f(x+1)f(f(y))}{f(1)}, \forall x,y \in \mathbb{R}$
Mà $f(x) là song ánh$
$\Rightarrow f(xy)=\frac{f(x)f(y)}{f(1)}, \forall x,y \in \mathbb{R}$ (*)
Thay $x=y=-1$ vào (*) ta có: $f(1)=\frac{f(-1)f(-1)}{f(1)} \Rightarrow [f(1)]^{2}=1$ mà $f(-1) \neq -1$
$\Rightarrow f(1)=1$
$\Rightarrow f(xy)=f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$ (**)
Thay $x=y$ vào (**) $\Rightarrow f(x^{2})=(f(x))^{2}\geq0, \forall x \in \mathbb{R}$ hay $f(x)>0 \forall x>0, x \in \mathbb{R}$ (***)
Thay $y=f(y)$ vào (**) ta có : $f(xf(y))=f(x)f(f(y))=yf(x), \forall x,y \in \mathbb{R}$ $\quad(\bullet)$
Theo đề ra, ta có: $f(xf(y)+f(y))=yf(x)+y=f(xf(y))+f(f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}$
Mà $f(x)$ là song ánh
$\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
Nếu $x>y \Rightarrow y=x+a, a>0 \Rightarrow f(y)=f(x+a)=f(x)+f(a)>f(x)$ (do (***))
$\Rightarrow f(x)$ là hàm tăng
mà $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$
$\Rightarrow f(x)=f(1)x=x, \forall x \in \mathbb{R}$ $\quad\text{Theo }(\bullet)$
Thử lại thỏa mãn. Vậy $f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$
____________________________
Điểm bài làm: $d=10$

$S=\left\lfloor\dfrac{52-28}{2}\right\rfloor+3\times 10 + 0 + 0=42$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 31-10-2012 - 13:24

[E. Galois]

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau

[Secrets In Inequalities VP]

Đề bài:
Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$f((x+1)f(y))=y(f(x)+1), \forall x,y \in \mathbb{R}$$ (1)

Toán thủ ra đề: nthoangcute

Thời gian làm bài tính từ lúc 8h 17 phút 26/10/2012

Tuy bị loại từ lâu rồi nhg e vẫn post thử ! M.n xem hộ có đúng không nhé !
+ Dễ CM : $f$ là song ánh .
+ Thay $x=-1,y=0$ vào (1) ta được $f(0)=0$
+ Thay $x= 0 $ vào (1) chú ý $f(0)=0$ ta được $f(f(y))=y$
+ Đổi vai trò $x$ và $f(x)$ và chú ý $f(f(y))=y$ ta được $f((f(x)+1)f(y))= y(x+1)$ (2)
Do $f$ là song ánh nên tồn tại $a$ sao cho $f(a)=\frac{y-f(y)}{f(y)}$ (3)
Trong (2) thay $x=a$ và chú ý (3) ta được :$f(y)=y(a+1)$
Vậy $f(x)=x(a+1)$ thay lại vào (1) ta được $a=0$ . Vâỵ $f(x)=x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Secrets In Inequalities VP: 29-10-2012 - 15:50

[hxthanh]

Đề bài: Tìm tất cả hàm số $f$: $R \to R$ thỏa mãn $f((x+1)f(y))=y(f(x)+1), \forall x,y \in R$

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

Thay $x=-1$ vào hệ thức đề bài ta được:
$$f(0)=y(f(-1)+1), \forall y \in R \Rightarrow f(0)=0 \text{ và } f(-1)=-1$$
Từ đó, thay $x=0$ trong hệ thức đề bài ta được $f(f(y))=y, \forall y \in R$
Trong hệ thức đề bài lấy $x=-2,y=-1$ ta được:
$$f(1)=-(f(-2)+1) \Rightarrow f(1)=-1 \text{ hay } f(1)=1$$
Nếu $f(1)=-1$ thì $1=f(f(1))=f(-1)-1$ (Vô lý). Do đó $f(1)=1$
Từ hệ thức đề bài ta thay $y=1$ ta được:
$f(x+1)=f(x)+1, \forall x \in R \Rightarrow f(xy)=f(xf(f(y)))=f(y)(f(x)-1)+1)=f(x)f(y),\forall x,y \in R$
Từ đó, $\forall x \geq 0$ thì $f(x)=(f(\sqrt{x}))^2 \geq 0$ và $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$
Lại có với $y \neq 0$ thì $f(x+y)=f((\frac{x}{y}+1)y)=f((\frac{x}{y}+1)f(f(y)))=f(y)(f(\frac{x}{y})+1)=f(y)f(\frac{x}{y})+f(y)=f(x)+f(y).$
Như thế cùng với $f(0)=0$, ta được $f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in R$
Sau đó,ta có $\forall x,y \in R, x>y$ thì $f(x)-f(y)=f(x-y)=(f(\sqrt{x-y}))^2>0$
Như thế, hàm $f(x)$ đồng biến trên R. Vậy:
Nếu có $x_0 \in R$ mà $f(x_0)>x_0$ thì $x_0=f(f(x_0))>f(x_0)$: vô lý
Nếu có $x_0 \in R$ mà $f(x_0)<x_0$ thì $x_0=f(f(x_0))<f(x_0)$: vô lý
Do đó $f(x)=x, \forall x$. Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy $f(x)=x$

__________________________________

Điểm cho toán thủ ra đề: nthoangcute $D_{rd}=4\times 16 + 3\times 21+ 0 +30=157$
__________________________________
$\fbox{Nhận xét!}$
- Phương trình hàm là một trong những khó, vì vậy tuy đề bài trận này không quá khó nhưng cũng ít toán thủ làm bài. Các toán thủ lưu ý! Theo quy định mới thì thà làm bài sai vẫn hơn không làm!
- Không có mở rộng nào cho bài toán này!
- Đáp án của toán thủ ra đề thiếu thuyết phục.
- Trận này được tôi chấm theo quy định mới, mọi người có 36 giờ để thắc mắc khiếu nại
__________________________________