Chứng minh rằng : $f(n) \equiv n^2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PRONOOBCHICKENHANDSOME: 26-10-2012 - 21:20
#1
Đã gửi 26-10-2012 - 21:19
PRONOOBCHICKENHANDSOME
-
- Thành viên
-
- 227 Bài viết
Thượng sĩ
Cho $f(n):\mathbb{N}^* \to \mathbb{N}^*$ tăng và thỏa mãn : $\left\{\begin{matrix} f(2)=4 \\ f(n)f(m)=f(nm) \forall n , m \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$
Chứng minh rằng : $f(n) \equiv n^2$
Chứng minh rằng : $f(n) \equiv n^2$
#2
Đã gửi 28-10-2012 - 19:28
Noobmath
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
$f(1)=1 , f(2)=4 , f(2^n) = 4^n $
Xét $m \in \mathbb{N}^* , m \geq 3 $
$\forall t \in \mathbb{N}^* , \exists k : 2^k \leq m^t <2^{k+1}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4^k=f(2^k) \leq f(m)^t=f(m^t) < f(2^{k+1})=4^{k+1} \\ 4^k \leq (m^2)^t < 4^{k+1}\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac{1}{4}<\left (\frac{f(m)}{m^2}\right )^t<4$
Từ đây suy ra $\frac{f(m)}{m^2}=1$ .
( vì nếu khác 1 thì lim của nó sẽ tiến đến 0 hoặc dương vô cùng và không thỏa mãn bất đẳng thức trên với mọi $t$)
Hay $f(m) \equiv m^2 $
ĐPCM
Xét $m \in \mathbb{N}^* , m \geq 3 $
$\forall t \in \mathbb{N}^* , \exists k : 2^k \leq m^t <2^{k+1}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 4^k=f(2^k) \leq f(m)^t=f(m^t) < f(2^{k+1})=4^{k+1} \\ 4^k \leq (m^2)^t < 4^{k+1}\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac{1}{4}<\left (\frac{f(m)}{m^2}\right )^t<4$
Từ đây suy ra $\frac{f(m)}{m^2}=1$ .
( vì nếu khác 1 thì lim của nó sẽ tiến đến 0 hoặc dương vô cùng và không thỏa mãn bất đẳng thức trên với mọi $t$)
Hay $f(m) \equiv m^2 $
ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Noobmath: 28-10-2012 - 19:30
- perfectstrong và PRONOOBCHICKENHANDSOME thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
