Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{(a^3+5)(b^3+5)(c^3+5)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 27$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
Unknown98

Unknown98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
Biết abc=1.CM:
$\frac{(a^3+5)(b^3+5)(c^3+5)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 27$
ở tử em cm dc tử>=216,mẫu em đg bí,bác nào giúp em với,tks nhìu lắm lắm

#2
chaugaihoangtuxubatu

chaugaihoangtuxubatu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Biết abc=1.CM:
$\frac{(a^3+5)(b^3+5)(c^3+5)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 27$
ở tử em cm dc tử>=216,mẫu em đg bí,bác nào giúp em với,tks nhìu lắm lắm

Có : $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ ( áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương )
Tương tự $b+c\geq 2\sqrt{bc}$
$c+a\geq 2\sqrt{ca}$
Nhân vế theo vế của 3 bđt trên ta được :
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8\sqrt{(abc)^2}=8$
Do tử số $\geq216$, mẫu số $\leq8$
=> đpcm
Quên mất, a,b,c của bạn có đk j ko?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chaugaihoangtuxubatu: 26-10-2012 - 22:53

Tự hào là thành viên VMF !

#3
Unknown98

Unknown98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Có : $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ ( áp dụng bđt Cauchy cho 2 số dương )
Tương tự $b+c\geq 2\sqrt{bc}$
$c+a\geq 2\sqrt{ca}$
Nhân vế theo vế của 3 bđt trên ta được :
$(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8\sqrt{(abc)^2}=8$
Do tử số $\geq216$, mẫu số $\leq8$
=> đpcm
Quên mất, a,b,c của bạn có đk j ko?

bạn sai rồi,nếu làm như bạn thì mẫu số >=8 chứ ko phài <=8 đâu,a,b,c >0

#4
chaugaihoangtuxubatu

chaugaihoangtuxubatu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

bạn sai rồi,nếu làm như bạn thì mẫu số >=8 chứ ko phài <=8 đâu,a,b,c >0

Ừ nhỉ, để mình nháp lại đã, thanks nhé, thế ở tử số bạn làm theo cách nào vậy?
Tự hào là thành viên VMF !

#5
Unknown98

Unknown98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Ừ nhỉ, để mình nháp lại đã, thanks nhé, thế ở tử số bạn làm theo cách nào vậy?

mình khai triển ra $126 + 5(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3) + 25(a^3+b^3+c^3)>=126+5.3+25.3 =216$

#6
chaugaihoangtuxubatu

chaugaihoangtuxubatu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

mình khai triển ra $126 + 5(a^3b^3+b^3c^3+a^3c^3) + 25(a^3+b^3+c^3)>=126+5.3+25.3 =216$

Chắc là cách này ko đc đâu, nếu TS $\geq216$ mà muốn cm p/s đó $\geq27$ thì chỉ còn cách làm MS $\leq8$ (cái này ko đc). Vậy chắc phải xài cách khác.
Tự hào là thành viên VMF !

#7
Unknown98

Unknown98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Chắc là cách này ko đc đâu, nếu TS $\geq216$ mà muốn cm p/s đó $\geq27$ thì chỉ còn cách làm MS $\leq8$ (cái này ko đc). Vậy chắc phải xài cách khác.

bạn suy nghĩ phụ mình với,mình đg căng đầu^^

#8
duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Biết abc=1.CM:
$\frac{(a^3+5)(b^3+5)(c^3+5)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 27$
ở tử em cm dc tử>=216,mẫu em đg bí,bác nào giúp em với,tks nhìu lắm lắm

Khai triển nhé !
BĐT $\Leftrightarrow (a^{3}+5)(b^{3}+5)(c^{3}+5)\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow 126+25(a^{3}+b^{3}+c^{3})+5(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3})\geq 27(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2)$
$\Leftrightarrow 72abc+25(a^{3}+b^{3}+c^{3})+5(\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}+\frac{c^{2}a^{2}}{b})\geq 27(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$
Ta có các BĐT sau:
Theo Cauchy Schwarz: $\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}=b^{2}(\frac{a^{2}}c{+\frac{c^{2}}{a}})\geq b^{2}(a+c)$
Tương tự :$\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{c^{2}a^{2}}{b}\geq a^{2}(b+c)$
$\frac{c^{2}a^{2}}{b}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}\geq c^{2}(a+b)$
cộng lại ta có: $2(\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{c^{2}a^{2}}{b}+\frac{b^{2}c^{2}}{a})\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (1)
Giả sử c=min{a,b,c}.Ta có :$(a+b-c)(a-b)^{2}+c(c-a)(c-b)\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Leftrightarrow 24(a^{3}+b^{3}+c^{3})+72abc\geq 24(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (2)
Dễ thấy $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{2}(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (3)
Cộng các vế của các BĐT (1),(2) và (3) ta có ĐPCM :icon6:
FC.Fruit

#9
chaugaihoangtuxubatu

chaugaihoangtuxubatu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Khai triển nhé !
BĐT $\Leftrightarrow (a^{3}+5)(b^{3}+5)(c^{3}+5)\geq 27(a+b)(b+c)(c+a)$
$\Leftrightarrow 126+25(a^{3}+b^{3}+c^{3})+5(a^{3}b^{3}+b^{3}c^{3}+c^{3}a^{3})\geq 27(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2)$
$\Leftrightarrow 72abc+25(a^{3}+b^{3}+c^{3})+5(\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}+\frac{c^{2}a^{2}}{b})\geq 27(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$
Ta có các BĐT sau:
Theo Cauchy Schwarz: $\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}=b^{2}(\frac{a^{2}}c{+\frac{c^{2}}{a}})\geq b^{2}(a+c)$
Tương tự :$\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{c^{2}a^{2}}{b}\geq a^{2}(b+c)$
$\frac{c^{2}a^{2}}{b}+\frac{b^{2}c^{2}}{a}\geq c^{2}(a+b)$
cộng lại ta có: $2(\frac{a^{2}b^{2}}{c}+\frac{c^{2}a^{2}}{b}+\frac{b^{2}c^{2}}{a})\geq a^{2}(b+c)+b^{2}(c+a)+c^{2}(a+b)=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (1)
Giả sử c=min{a,b,c}.Ta có :$(a+b-c)(a-b)^{2}+c(c-a)(c-b)\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$
$\Leftrightarrow 24(a^{3}+b^{3}+c^{3})+72abc\geq 24(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (2)
Dễ thấy $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{1}{2}(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a))$ (3)
Cộng các vế của các BĐT (1),(2) và (3) ta có ĐPCM :icon6:

Làm thế nào bạn nghĩ ra đc cách này vậy?
Tự hào là thành viên VMF !

#10
Unknown98

Unknown98

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
Tks anh,mọi ng xem còn cách nào khác đơn giản hơn ko?><




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh