Chủ đề này có 2 trả lời

[thien than cua gio]

Cho $xy+yz+zx=1$. Tìm Min : $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}$

[25 minutes]

Ta có :
$\frac{x^2}{2}+ay^2\geq 2\sqrt{\frac{a}{2}}.xy$
$(2-a)y^2+bz^2\geq 2\sqrt{b(2-a)}.yz$
$(5-b)z^2+\frac{x^2}{2}\geq 2\sqrt{\frac{5-b}{2}}.xz$
Trong đó a,b là nghiệm của phương trình sau đây $\frac{a}{2}=b(2-a)=\frac{5-b}{2}$
Tìm được a,b, thay xy+yz+xz= 1 vào ta sẽ tìm được Min của $x^2+2y^2+5z^2$?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 03-11-2012 - 15:33

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $xy+yz+zx=1$. Tìm Min : $x^{2}+2y^{2}+5z^{2}$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $$(2x^{2}+3y^{2}+6z^{2})\left ( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right )\ge(x+y+z)^2.$$ Tức là $$2x^{2}+3y^{2}+6z^{2}\ge(x+y+z)^2,$$ hoặc $$x^{2}+2y^{2}+5z^{2} \ge 2(xy+yz+zx).$$ Đến đây, ta chỉ cần thay điều kiện của bài toán vào là được.
P/s. Sao bộ gõ chữ của diễn đàn nó bị nhảy tùm lum hết nhỉ Khó gõ quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 30-10-2012 - 19:21