Chủ đề này có 3 trả lời

[minhson95]

Cho tam giác nhọn ABC. Từ điểm E bất kỳ trên AC ( E khác A và C) kẻ đường thẳng song song với đường thẳng BC, đường thẳng này cắt AB tại D. Lấy M trên AB sao cho góc AME = góc BMC. Qua giao điểm O của đường thẳng BE và CD kẻ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này cắt cạnh AC tại N. CMR:OM=ON

[perfectstrong]

Đây là 1 cách. Bạn tự tính tiếp nhé
Lời giải:

Vẽ $ON$ cắt $AB$ tại $P$. Theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{{ON}}{{CB}} = \frac{{EN}}{{EC}} = \frac{{DP}}{{DB}} = \frac{{OP}}{{CB}} \Rightarrow ON = OP
\]
Ta sẽ chứng minh $MN \perp AB$. Vẽ $d$ qua $M$ và $d \perp AB$.
Xét hệ tọa độ $Mxy$ sao cho $AB \equiv Mx;\,d \equiv My$ như hình vẽ.
Đặt $A(-a;0);B(b;0)$ với $a,b>0$.
Giả sử phương trình $MC$ là $y=kx$ với $k>0$ nên phương trình $ME$ là $y=-kx$. Suy ra $E=(-e;ke)$ trong đó $e>0$
Phương trình đường thẳng $AE$ là $y=\dfrac{ke}{a-e}x+\dfrac{kea}{a-e}$
Dễ dàng tìm được tọa độ $C$ là $\left( {\frac{{ea}}{{a - 2e}};\frac{{kea}}{{a - 2e}}} \right)$
Từ đó tìm được phương trình $CB$ là \[(CB):y = \dfrac{{kea}}{{ea + 2eb - ab}}\left( {x - b} \right)\]
Phương trình $ED$ là \[ y = \frac{{kea}}{{ea + 2eb - ab}}x + ke.\frac{{2ae + 2be - ab}}{{ae + 2be - ab}}\]
Suy ra tọa độ $D$ là\[ \left( {b - e - \frac{{2be}}{a};0} \right)\]
Phương trình $BE$ là \[
y = - \frac{{ke}}{{b + e}}x + \frac{{bke}}{{b + e}}
\]
Phương trình $CD$ là...
Tọa độ $O$ là...
Phương trình $NP$ là...
$\Rightarrow$ hoành độ của $N$ là $0$. Suy ra $MN \perp AB$ hay $\vartriangle MNP$ vuông tại $M$, lại có trung tuyến $MO$.
Vậy nên $OM=ON$

[minhson95]

Bài này có cách khác không bạn. Mình không thích cách dùng phương pháp tọa độ lắm. Cách này phức tạp lắm!

[perfectstrong]

Lời giải 2:
Vẽ $ON$ cắt $AB$ tại $P$. Theo định lý Thales, ta có:
\[
\frac{{\overline {ON} }}{{\overline {BC} }} = \frac{{\overline {EN} }}{{\overline {EC} }} = \frac{{\overline {DP} }}{{\overline {DB} }} = \frac{{\overline {PO} }}{{\overline {BC} }} \Rightarrow \overline {ON} = - \overline {OP}
\]
$\vartriangle APN$ có cát tuyến $BOE$ nên theo định lý Menelaus, ta có:
\[
\frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EN} }}.\frac{{\overline {ON} }}{{\overline {OP} }}.\frac{{\overline {BP} }}{{\overline {BA} }} = 1
\]
Lại có: $\frac{{\overline {ON} }}{{\overline {OP} }}=-1$ và theo định lý Thales, $\frac{{\overline {BP} }}{{\overline {BA} }} = \frac{{\overline {CN} }}{{\overline {CA} }}$ nên
\[
\begin{array}{l}
\frac{{\overline {EA} }}{{\overline {EN} }} = - \frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CN} }} \Leftrightarrow \left( {CENA} \right) = - 1 \Leftrightarrow M\left( {CENA} \right) = - 1 \\
\Leftrightarrow \left( {MC;ME;MN;MA} \right) = - 1\quad \left( 1 \right) \\
\end{array}
\]

Vẽ đường thẳng $d$ qua $M$ vuông góc với $AB$. Dễ thấy $d$ là phân giác $\angle EMC$, vậy nên theo nhận xét quen thuộc
\[
\left( {MC;ME;d;MA} \right) = - 1\quad \left( 2 \right)
\]
Từ (1),(2) suy ra $d \equiv MN \Rightarrow MN \perp AB \Rightarrow \vartriangle MNP$ vuông tại $M$.
$\vartriangle MNP$ có trung tuyến $MO$ nên $OM=ON$. Bài toán được chứng minh.