Đến nội dung

Hình ảnh

ĐỀ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TOÁN DỰ THI QUỐC GIA TỈNH ĐAKLAK NĂM 2012-2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 25 trả lời

#1
thanh hai nguyen

thanh hai nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết

NGÀY THI 25/10/2012

BÀI 1: giả sử phương trình $x^{3}+ax^{2}+x+b=0$ có 3 nghiệm dương phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ . chứng minh rằng: $\sum \frac{x_{1}^{3}}{x_{2}+x_{3}}> \frac{1}{2}$.
BÀI 2: cho hàm số f(x) xác định trên $\left [ 0,1 \right ]$ thỏa mãn điều kiện f(0)=0, f(1)=1 và $3f(\frac{3x+2y}{5})=f(x)+2f(y)$, với x$\geq y$ và x, y $\in \left [ 0,1 \right ]$. tính $f(\frac{27}{107})$.
BÀI 3: cho dãy số $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1, u_{2}=3\\ u_{n+1}=(n+2)u_{n}-(n+1)u_{n-1} \end{matrix}\right.$, với $n\geq 2$. chứng minh rằng nếu n>8 thì $u_{n}$ không thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa với số mũ nguyên dương của một số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2.
BÀI 4: cho tam giác ABC vuông ở A, AC=b, AB=c và M là trung diểm BC. trên đường thẳng d qua M và vuông góc với (ABC) lấy điểm S khác M. Mặt phẳng (P) qua BC vuông góc (SAB), cắt SA tại D. gọi $\alpha$ là góc giữa (SAB) và (ABC).
1./. tính thể tích khối tứ diện ABCD theo b,c,$\alpha$.
2./. định tan$\alpha$ khi S di chuyển trên d để thể tích khối tứ diện ABCD lớn nhất.



NGÀY THI 26/10/2012

BÀI 5: tìm tất cả các hàm f: $\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho:
$f(x^{2}+f(y))=y+(f(x))^{2}$ với mọi x,y
BÀI 6: cho dãy $(a_{n}): a_{n}=\frac{1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}}{n^{2013}}$. Tính $\lim a_{n} khi n\rightarrow +\infty$.
BÀI 7: cho đoạn thẳng BC, vẽ đường tròn đường kính BC. Điểm A thuộc đường tròn và khác B,C. Gọi N là điểm chình giữa cung nhỏ AB. Vẽ đường cao AH với H thuộc cạnh BC, đường trung tuyến BM với M thuộc cạnh AC. Hãy dựng điểm A trên đường tròn đã cho để ba đường CN, AH, BM đồng qui.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanh hai nguyen: 21-11-2012 - 16:54


#2
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết

BÀI 6: cho dãy $(a_{n}): a_{n}=\frac{1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}}{n^{2013}}$. Tính $\lim a_{n} khi n\rightarrow +\infty$.


Lời giải sơ lược: Dùng tổng tích phân

Ta có: \[{a_n} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{k}{n}} \right)} ^{2012}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \int\limits_0^1 {{x^{2012}}} dx = \left. {\frac{1}{{2013}}{x^{2013}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{2013}}\]

#3
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
BÀI 6: cho dãy $(a_{n}): a_{n}=\frac{1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}}{n^{2013}}$. Tính $\lim a_{n} khi n\rightarrow +\infty$.

Em trình bày cụ thể ra luôn :)
Biến đổi $$a_n=\frac{1}{n}[(\frac{1}{n})^{2012}+(\frac{2}{n})^{2012}+...+(\frac{n}{n})^{2012}]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\frac{i}{n})^{2012}$$
Xét hàm số $f(x)=x^{2012}$ liên tục trên $[0;1]$ khả tích trên $[0;1]$.
Chia đoạn [0;1] bởi các điểm chia $x_i=\frac{i}{n};i=\overline{0;n}$ và chọn $\xi _i=\frac{1}{i}\in [x_{i-1};x_i];i=\overline{1;n}$
Ta có: \[{a_n} = \frac{1}{n}{\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{k}{n}} \right)} ^{2012}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = \int\limits_0^1 {{x^{2012}}} dx = \left. {\frac{1}{{2013}}{x^{2013}}} \right|_0^1 = \frac{1}{{2013}}\]

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#4
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

BÀI 6: cho dãy $(a_{n}): a_{n}=\frac{1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}}{n^{2013}}$. Tính $\lim a_{n} khi n\rightarrow +\infty$.

Đặt $y_n=n^{2013} ;x_n =1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}$. Ta có
$$\frac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=\frac{(1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012})-(1^{2012}+2^{2012}+...+(n-1)^{2012})}{n^{2013}-(n-1)^{2013}}$$
$$=\frac{n^{2012}}{2013n^{2012}-\frac{2012.2013}{2}n^{2011}+...}\to \frac{1}{2013}$$
Theo định lý Stolz $a_n \to \frac{1}{2013}$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#5
thanh hai nguyen

thanh hai nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
không được, trong kì thi mà dùng tích phân hay định lí thuộc chương trình cao cấp là chết ngay ?

#6
xuanha

xuanha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

không được, trong kì thi mà dùng tích phân hay định lí thuộc chương trình cao cấp là chết ngay ?

kì thi HSG thì được sử dụng mà

#7
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

không được, trong kì thi mà dùng tích phân hay định lí thuộc chương trình cao cấp là chết ngay ?

Hơ tích phân có trong SGK sao lại không được dùng. Còn định lý Stolz khá quen thuộc nếu cần thì chứng minh lại là oke thôi. Thi chọn HSG quốc gia mà không được dùng mấy cái này khác gì kiểm tra bình thường trên lớp :closedeyes: GV không cho dùng kiến thức chưa học. <_<

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#8
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Làm bài 6 mà không dùng tích phân và stolz

Xét hàm số:
$$f(x) = e^x+e^{2x}+...+e^{nx}$$

Đạo hàm cấp $k$ của $f(x)$ là:
$$f^{(k)}(x)=e^x+2^ke^{2x}+...+n^ke^{nx}$$
Dễ thấy:
$$f^{(2012)}(0)=1+2^{2012}+...+n^{2012}$$
Ta cũng có thể viết:
$$f(x)=\frac{e^{(n+1)x}-e^x}{e^x-1}$$
Từ đó suy ra:
$$e^{(n+1)x}-e^x=(e^x-1)f(x)$$
Đạo hàm 2013 lần hai vế, ta có:
$$(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x=\sum_{k=0}^{2013}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}$$
Từ đó, ta có:
$(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x=$

$=\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}+C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(x)e^x+C^{2013}_{2013}f^{(2013)}(x)(e^x-1)$

Suy ra:
$C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(x)e^x=$

$=(n+1)^{2013}e^{(n+1)x}-e^x-\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)}-C^{2013}_{2013}f^{(2013)}(x)(e^x-1)$

Cho $x=0$, ta có:
$$C^{2012}_{2013}f^{(2012)}(0)=(n+1)^{2013}-1-\left (\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)} \right )_{x=0}$$
Dễ thấy, bậc cao nhất của $n$ ở $\left (\sum_{k=0}^{2011}C_{2013}^k.f^{(k)}(x)(e^x-1)^{(2013-k)} \right )_{x=0}$ là $2011$. Do đó, $f^{(2012)}(0)$ là một đa thức bậc $2013$ và có hệ số cao nhất là $\frac{1}{2013}$.
Đặt:
$$f^{(2012)}(0)=\frac{1}{2013}.n^{2013}+b_{2012}n^{2012}+...+b_0$$, ta có:
$$lima_{n}=lim \frac{\frac{1}{2013}.n^{2013}+b_{2012}n^{2012}+...+b_0}{n^{2013}} = \frac{1}{2013}$$

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#9
thanh hai nguyen

thanh hai nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
bài 6 có thể chặn 2 đầu như sau:
$\frac{n^{2013}}{2013}< 1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}< \frac{(n+1)^{2013}}{2013}-\frac{1}{2013}$ (chứng minh bằng quy nạp). từ đó theo nguyên lí kẹp suy ra ngay $lima_{n}$

#10
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Ta có thể chứng minh:
$$1^k+2^k+...+n^k=\sum_{i=0}^{k-1}A_{k}^{k-i}C_{n+1}^{k-i+1}$$
Xem chứ minh ở http://diendantoanho...23/#entry365900

Theo đẳng thức trên, dễ thấy $1^{2012}+2^{2012}+...+n^{2012}$ là đa thức bậc $2013$ có hệ số cao nhất là $\frac{1}{2013}$
Sau đó ta lại làm như trên

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#11
luuxuan9x

luuxuan9x

    Sát thủ có khuôn mặt trẻ thơ

  • Thành viên
  • 78 Bài viết
Có văn bản Word không các thầy?Em muốn dowload về máy.

#12
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
File PDF đề này.
File gửi kèm  de thi HSG.pdf   108.76K   271 Số lần tải

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#13
mekjpdoj

mekjpdoj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
dựng hình như sau:
toàn bộ hình mấu chốt là tìm vị trí mp(P) và điểm D.

lấy N là trung điểm $AB \Rightarrow
MN//AB$
$\Rightarrow$ MN vuông AB
$\Rightarrow$ AB vuông (SMN)
kẻ MH vuông SN với H thuộc SN
$\Rightarrow$ MH vuông (SAB)
mà (P) qua BC vuông góc (SAB) và M thuộc BC
$\Rightarrow$ MH thuộc (P)
$\Rightarrow$ D là giao điểm giữa BN và SA ( trong mp(SAB))
Gợi ý chứng minh như sau:( ai chứng minh hơp lí thì làm tiếp nha, chứ ngõ lí luận HK lớn nhất thì d lớn nhất t cũng không biết nên dùng phương pháp gì hợp lí )
Gọi khoảng cách từ D đến (ABC) là d
trong (SMN) kẻ HK // SM ( K thuộc MN)
$\Rightarrow$ HK vuông (ABC)
Ta có $\widehat{NHM}=90^{o}$
$\Rightarrow$ Khi S di chuyển trên đường thẳng (d), H luôn thuộc đường tròn đường kính MN (MN thuộc (ABC))
$\Rightarrow$ HK $\leq$ R ( R = $\frac{MN}{2}$ )
$\Rightarrow$ HK = R khi K là trung điểm NM
d lớn nhất khi HK lớn nhất ( ngõ này ai chứng minh hợp lí hãy nói rõ cái, cách t ngó bộ dài mà chưa hợp lí)
$\Rightarrow$ $\alpha$ =45o
$\Rightarrow$ tan$\alpha$=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 06-11-2012 - 00:16


#14
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

NGÀY THI 25/10/2012

BÀI 1: Giả sử phương trình $x^{3}+ax^{2}+x+b=0$ có 3 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3}$ . chứng minh rằng: $\sum \frac{x_{1}^{3}}{x_{2}+x_{3}}> \frac{1}{2}$.


Ta có $x_1;x_2;x_3$ là 3 nghiệm của phương trình $x^{3}+ax^{2}+x+b=0$.
Áp dụng định lý $Vi-et$ bậc 3 ta có: $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=1$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và bất đẳng thức quen thuộc $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac$ ta có :
$$ \dfrac{x_1^3}{x_2+x_3}+\dfrac{x_2^3}{x_1+x_2}+\dfrac{x_3^3}{x_1+x_2}=\dfrac{x_1^4}{x_1x_2+x_1x_3}+\dfrac{x_2^4}{x_2x_1+x_3}+\dfrac{x_3^2}{x_3x_1+x_3x_2}$$
$$\geq \dfrac{(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^2}{2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)}\ge \dfrac{(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)^2}{2(x_2x_1+x_1x_3+x_2x_3)}=\dfrac{x_2x_1+x_1x_3+x_2x_3}{2}=\dfrac{1}{2}$$
Dấu "=" không xảy ra do đó ta có điều cần chứng minh.

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#15
bbboylion

bbboylion

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
bài này khi thi em dùng stolz mà không chứng minh có được điểm không ạ.

#16
bbboylion

bbboylion

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
bài hình không gian mình ra công thức tính thể tích là $$V=\frac{b^2c}{6}\frac{tan\alpha }{tan^2\alpha +2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbboylion: 07-11-2012 - 20:55


#17
thanh hai nguyen

thanh hai nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
Bài 1 bạn gì đó chứng minh hay :icon6:

#18
thanh hai nguyen

thanh hai nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
à, bài dãy số dùng định lí stolz mà không chứng minh thì bạn cũng có điểm nhưng chỉ là "0" thôi ^_^ (đùa tí đừng giận nha :lol: )

#19
bbboylion

bbboylion

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 13 Bài viết
sao lại vậy. mất công làm mà chả được điểm gì. sao thầy em kêu dùng được mà. nếu chứng mình có được không.
Mà bài 1 còn cách nào nữa à!
Mà bạn là gv hay học sinh trường nào vậy?

#20
thanh hai nguyen

thanh hai nguyen

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 41 Bài viết
hi hi, mình là học sinh lớp 12 ở daklak , theo mình biết thì định lí stolz nếu dùng phải chứng minh!




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh