Chủ đề này có 1 trả lời

[danganhaaaa]

Cho $x , y , z$ >0.Chứng minh rằng

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{\frac{2(xy+yz+xz)}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$

[BoBoiBoy]

Cho $x , y , z$ >0.Chứng minh rằng

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+4\sqrt{\frac{2(xy+yz+xz)}{x^2+y^2+z^2}}\geq 6$

Ta sẽ chứng minh:
$$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}$$
$$\Leftrightarrow xyz.(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})\ge 0$$ (đúng)
Vậy BĐT được chứng minh khi:
$$\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}+4\sqrt{\frac{2(xy+yz+zx)}{x^2+y^2+z^2}}\ge 6$$
$$\Leftrightarrow (x-1)^2(x+2)\ge0$$ (đúng)_với $x=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2(xy+yz+zx)}}\ge 0$.
Chứng minh hoàn tất.Dấu bằng xảy ra khi $a=b;c=0$ hoặc các hoán vị.
P/S:Mình nghĩ điều kiện đề bài là $x;y;z\ge 0$ để đẳng thức xảy ra..