Đến nội dung

Hình ảnh

$Cho$ $a^3+b^3=2$.$Tìm$ $max$ $của$ $a+b$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
$Cho$ $a^3+b^3=2$.$Tìm$ $max$ $của$ $a+b$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#2
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
mình xin giới thiệu 1 bổ đề sẽ giúp bạn tìm max
với a,b>0. ta có $4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}$
tới đây là tìm đc max r

#3
Katyusha

Katyusha

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
Ta cũng có thể xử lý thế này :)

Theo AM-GM:
$$a^3+1+1 \ge 3a$$
$$b^3+1+1 \ge 3b$$
$$\Rightarrow a^3+b^3+4 \ge 3(a+b) \Rightarrow 2 \ge a+b$$

#4
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Ta cũng có thể xử lý thế này :)

Theo AM-GM:
$$a^3+1+1 \ge 3a$$
$$b^3+1+1 \ge 3b$$
$$\Rightarrow a^3+b^3+4 \ge 3(a+b) \Rightarrow 2 \ge a+b$$


Đâu có điều kiện $a\geqslant 0$ đâu mà bạn áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$

#5
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

$Cho$ $a^3+b^3=2$.$Tìm$ $max$ $của$ $a+b$


Sử dụng phương pháp phản chứng ta có thể chứng minh $a+b\leqslant 2$

Thật vậy, giả sử $a+b>2$, ta có

$a+b>2\$

$\Leftrightarrow (a+b)^{3}>8$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)>8$

$\Leftrightarrow ab(a+b)>2$

$\Leftrightarrow ab(a+b)>a^{3}+b^{3}$

$\Leftrightarrow ab>a^{2}-ab+b^{2}$

$\Leftrightarrow 0>(a-b)^{2}$



#6
BTrangg

BTrangg

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết

Đâu có điều kiện $a\geqslant 0$ đâu mà bạn áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$

Bđt AM-GM là gì v ạ



#7
guongmatkhongquen

guongmatkhongquen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 137 Bài viết

Bđt AM-GM là gì v ạ

Cô si


Khoảnh khắc bạn đang thực sự sống chính là khoảnh khắc của hiện tại. Đó là thời điểm duy nhất mà bạn có quyền và có thể kiểm soát mọi thứ. “Ngày hôm qua đã là lịch sử, ngày mai vẫn còn là điều bí ẩn, chỉ có hôm nay mới là một món quà, đó là lý do vì sao chúng ta gọi hiện tại là quà tặng của cuộc sống”. Hãy bắt đầu bằng cách cảm nhận những điều tốt đẹp ngay vào lúc này, bạn sẽ có được những giây phút tươi sáng và tràn đầy niềm vui trong tương lai.
:oto:
  :oto:  :oto:  :oto:  :oto: PHẠM VĂN LẠC  :oto:  :oto:  :oto:  :oto:  :oto:  :oto: 


#8
Silverbullet069

Silverbullet069

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 565 Bài viết

Bđt AM-GM là gì v ạ

AM-GM là BĐT Cô-si dạng tổng quát : Với n số không âm $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ ta luôn có :

$a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n \geq n.\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a_1 = a_2 = a_3 = ... = a_n$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Silverbullet069: 21-08-2015 - 18:05

"I am the bone of my sword,

 

Unknown to Death, Nor known to Life,

 

So as I pray, unlimited blade works."

 

 


#9
Min Nq

Min Nq

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 160 Bài viết

Bđt AM-GM là gì v ạ

Am-Gm là viết tắt cho arithmetic-geometric, nghĩa là trung bình cộng- trung bình nhân. Trung bình cộng của n số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Min Nq: 21-08-2015 - 20:10


#10
duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Các bạn nhầm rồi. BĐT AM-GM không phải là BĐT Cauchy (?). Trong sách Sáng tạo BĐT có nói rất rõ : Cauchy chỉ là người đưa ra chứng minh hay cho BĐT này thôi.


          

 

 

 


#11
duythanbg

duythanbg

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết

Cách giải khác : Ta có BĐT : $a^2-ab+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{4}\forall a,b\in \mathbb{R}$ 

 

Ta có : $a^3+b^3=2=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ Nên hiển nhiên do : $a^2-ab+b^2>0,2>0$ nên $a+b>0$

Mặt khác : $2=(a+b)(a^2-ab+b^2)\geq \frac{(a+b)^3}{4}$ nên suy ra : $a+b\leq 2$


          

 

 

 





3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh