Chủ đề này có 1 trả lời

[hxthanh]

Chứng minh đẳng thức sau với $n$ là số nguyên dương

$S=\sum_{k=0}^n \left[\sum_{j=0}^k \binom{n}{j}\right]^2=(n+2)2^{2n-1}-\dfrac{n}{2}\binom{2n}{n}$

[HeilHitler]

Chứng minh đẳng thức sau với $n$ là số nguyên dương

$S=\sum_{k=0}^n \left[\sum_{j=0}^k \binom{n}{j}\right]^2=(n+2)2^{2n-1}-\dfrac{n}{2}\binom{2n}{n}$

Không gì khó chịu hơn việc khi gặp một bài toán khó mà trong đầu chỉ có mỗi ý tưởng biến đổi tương đương.
Vế trái tương đương với:
$\sum_{k=0}^n \left[\sum_{j=0}^k \binom{n}{j}\right]^2=[\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}][\sum_{i=0}^n (i+1).\binom{n}{i}]-\sum_{i>j}[(i-j).\binom{n}{i}.\binom{n}{j}]$
Rõ ràng dễ thấy ngay $\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}=2^n$ và $\sum_{i=0}^n (i+1).\binom{n}{i}=2^n+n2^{n-1}$. Thành thử bài toán quy về việc chứng minh:
$\sum_{i>j}[(i-j).\binom{n}{i}.\binom{n}{j}]=\dfrac{n}{2}\binom{2n}{n}$ (*)
Thật đáng tiếc đẳng thức (*) đã được các bác chứng minh ở http://diendantoanho...racn2binom2nn/. Như vậy bài toán đã được giải quyết.