Chủ đề này có 3 trả lời

[anh qua]

Pro: Tìm nghiệm nguyên dương $(a_1,a_2,...,a_n)$ của phương trình.
$(3^{a_n}-4^{a_n})^{n-1}=(3^{a_{n-1}}-4^{a_{n-1}})...(3^{a_{1}}-4^{a_{1}})$



@All: Lâu rồi mới post . Bài này mjình mới chế, anh em, thầy cô vô chém nhiệt tình nha. Đặc biêt ku nguyenta98 .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-10-2013 - 22:56

[nguyenta98]

Pro: Tìm nghiệm nguyên dương $(a_1,a_2,...,a_n)$ của phương trình.
$(3^{a_n}-4^{a_n})^{n-1}=(3^{a_{n-1}}-4^{a_{n-1}})...(3^{a_{1}}-4^{a_{1}})$



@All: Lâu rồi mới post . Bài này mjình mới chế, anh em, thầy cô vô chém nhiệt tình nha. Đặc biêt ku nguyenta98 .

Giải như sau:
Bổ đề: $4^m-3^m \vdots p$ và $4^n-3^n \vdots p$ với $n$ nhỏ nhất thì $m \vdots n$
Chứng minh: Tương tự cm về cấp của một số
$$**********$$
Áp dụng ta được:
Trước tiên ta thấy, để cho thuận tiện, ta hoàn toàn đổi được thành
$(4^{a_n}-3^{a_n})^{n-1}=(4^{a_{n-1}}-3^{a_{n-1}})...(4^{a_1}-3^{a_1})$
Không mất tổng quát, giả sử $a_{n-1}\geq a_{n-2}\geq ...\geq a_1$
Đặt $a_{n-1}=p_1^{k_1}.p_2^{k_2}...p_t^{a_t}$
Khi ấy ta xét số $p_1$ khi đó $4^{a_{n-1}}-3^{a_{n-1}} \vdots 4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}}$
Ta có $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}}=(4^{p_1^{k_1-1}})^{p_1}-(3^{p_1^{k_1-1}})^{p_1}$
Đặt $4^{p_1^{k_1-1}}=x,3^{p_1^{k_1-1}}=y$
Khi ấy $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}}=x^{p_1}-y^{p_1}=(x-y)(x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1})$
Ta xét $x-y \vdots d$ khi ấy $x \equiv y \pmod{d} \Rightarrow x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1} \equiv p_1.x^{p_1-1} \pmod{d}$
Mặt khác ta thấy $4^{p_1^{k_1-1}}=x,3^{p_1^{k_1-1}}=y$ nên $gcd(x,y)=1$
Khi ấy $x-y \vdots d \Rightarrow gcd(x,d)=gcd(y,d)=1$
Như vậy để $x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1} \vdots d \Rightarrow p_1 \vdots d \Rightarrow d=p_1$ (do $p_1$ nguyên tố) nhưng khi ấy $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots p_1$ lại có theo Fermat nhỏ suy ra $4^{p_1-1}-3^{p_1-1} \vdots p_1$
Gọi $h$ là số nhỏ nhất thỏa $4^h-3^h \vdots p_1$ khi ấy theo bổ đề $p_1-1 \vdots h$ và $p_1^{k_1} \vdots h \Rightarrow h=1$ suy ra $4^h-3^h=1 \vdots p_1$ vô lí !
Suy ra $gcd(x-y,x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1})=1$
Gọi $r_1$ là một ước nguyên tố của $x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1}$
Khi ấy $gcd(x-y,r_1)=1$
Mặt khác $x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1} \vdots r_1$ nên $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots r_1$ lúc này ta cũng suy ra $p_1^{k_1}$ là số nhỏ nhất thỏa $4^j-3^j \vdots r_1$, thật vậy giả sử ngược lại có số $g$ nhỏ hơn và nhỏ nhất thỏa $4^g-3^g \vdots r_1$, khi ấy theo bổ đề suy ra $p_1^{k_1} \vdots g \Rightarrow g=p_1^{l_1}$ với $l_1<k_1$
Suy ra $4^{p_1^{l_1}}-3^{p_1^{l_1}} \vdots r_1$ mặt khác $l_1<k_1 \Rightarrow l_1\le k_1-1 \Rightarrow x-y \vdots 4^{p_1^{l_1}}-3^{p_1^{l_1}} \vdots r_1$ suy ra $gcd(x-y,x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1}) \vdots r_1$ vô lí vì chúng nguyên tố cùng nhau, do đó $p_1^{k_1}$ là số nhỏ nhất thỏa $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots r_1$
Mặt khác $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots r_1 \Rightarrow 4^{a_{n-1}}-3^{a_{n-1}} \vdots r_1$
Suy ra $(4^{a_n}-3^{a_n})^{n-1} \vdots r_1 \Rightarrow 4^{a_n}-3^{a_n} \vdots r_1$
Mặt khác ta đã cm $p_1^{k_1}$ là số nhỏ nhất thỏa $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots r_1$ nên theo bổ đề suy ra $a_n \vdots p_1^{k_1}$
Chứng minh hoàn toàn tương tự với $p_2^{k_2}....p_t^{k_t}$ ta thu được $a_n \vdots p_1^{k_1},p_2^{k_2}...p_t^{k_t}$ mà $gcd(p_i^{a_i},p_j^{a_j})=1$ do đó $a_n \vdots a_{n-1}$
Suy ra $a_n\geq a_{n-1}\geq a_{n-2}\geq ...\geq a_1$
Như vậy $VT\geq VP$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a_n=a_{n-1}=...=a_1$
Vậy $\boxed{(a_1,a_2,...,a_n)=(k,k,...,k)}$ với $n$ số $k$, $k$ nguyên dương

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 29-10-2012 - 22:19

[anh qua]

Giải như sau:
Bổ đề: $4^m-3^m \vdots p$ và $4^n-3^n \vdots p$ với $n$ nhỏ nhất thì $m \vdots n$
Chứng minh: Tương tự cm về cấp của một số
$$**********$$
Áp dụng ta được:
Trước tiên ta thấy, để cho thuận tiện, ta hoàn toàn đổi được thành
$(4^{a_n}-3^{a_n})^{n-1}=(4^{a_{n-1}}-3^{a_{n-1}})...(4^{a_1}-3^{a_1})$
Không mất tổng quát, giả sử $a_{n-1}\geq a_{n-2}\geq ...\geq a_1$
Đặt $a_{n-1}=p_1^{k_1}.p_2^{k_2}...p_t^{a_t}$
Khi ấy ta xét số $p_1$ khi đó $4^{a_{n-1}}-3^{a_{n-1}} \vdots 4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}}$
Ta có $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}}=(4^{p_1^{k_1-1}})^{p_1}-(3^{p_1^{k_1-1}})^{p_1}$
Đặt $4^{p_1^{k_1-1}}=x,3^{p_1^{k_1-1}}=y$
Khi ấy $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}}=x^{p_1}-y^{p_1}=(x-y)(x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1})$
Ta xét $x-y \vdots d$ khi ấy $x \equiv y \pmod{d} \Rightarrow x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1} \equiv p_1.x^{p_1-1} \pmod{d}$
Mặt khác ta thấy $4^{p_1^{k_1-1}}=x,3^{p_1^{k_1-1}}=y$ nên $gcd(x,y)=1$
Khi ấy $x-y \vdots d \Rightarrow gcd(x,d)=gcd(y,d)=1$
Như vậy để $x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1} \vdots d \Rightarrow p_1 \vdots d \Rightarrow d=p_1$ (do $p_1$ nguyên tố) nhưng khi ấy $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots p_1$ lại có theo Fermat nhỏ suy ra $4^{p_1-1}-3^{p_1-1} \vdots p_1$
Gọi $h$ là số nhỏ nhất thỏa $4^h-3^h \vdots p_1$ khi ấy theo bổ đề $p_1-1 \vdots h$ và $p_1^{k_1} \vdots h \Rightarrow h=1$ suy ra $4^h-3^h=1 \vdots p_1$ vô lí !
Suy ra $gcd(x-y,x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1})=1$
Gọi $r_1$ là một ước nguyên tố của $x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1}$
Khi ấy $gcd(x-y,r_1)=1$
Mặt khác $x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1} \vdots r_1$ nên $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots r_1$ lúc này ta cũng suy ra $p_1^{k_1}$ là số nhỏ nhất thỏa $4^j-3^j \vdots r_1$, thật vậy giả sử ngược lại có số $g$ nhỏ hơn và nhỏ nhất thỏa $4^g-3^g \vdots r_1$, khi ấy theo bổ đề suy ra $p_1^{k_1} \vdots g \Rightarrow g=p_1^{l_1}$ với $l_1<k_1$
Suy ra $4^{p_1^{l_1}}-3^{p_1^{l_1}} \vdots r_1$ mặt khác $l_1<k_1 \Rightarrow l_1\le k_1-1 \Rightarrow x-y \vdots 4^{p_1^{l_1}}-3^{p_1^{l_1}} \vdots r_1$ suy ra $gcd(x-y,x^{p_1-1}+x^{p_1-2}.y+...+x.y^{p_1-2}+y^{p_1-1}) \vdots r_1$ vô lí vì chúng nguyên tố cùng nhau, do đó $p_1^{k_1}$ là số nhỏ nhất thỏa $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots r_1$
Mặt khác $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots r_1 \Rightarrow 4^{a_{n-1}}-3^{a_{n-1}} \vdots r_1$
Suy ra $(4^{a_n}-3^{a_n})^{n-1} \vdots r_1 \Rightarrow 4^{a_n}-3^{a_n} \vdots r_1$
Mặt khác ta đã cm $p_1^{k_1}$ là số nhỏ nhất thỏa $4^{p_1^{k_1}}-3^{p_1^{k_1}} \vdots r_1$ nên theo bổ đề suy ra $a_n \vdots p_1^{k_1}$
Chứng minh hoàn toàn tương tự với $p_2^{k_2}....p_t^{k_t}$ ta thu được $a_n \vdots p_1^{k_1},p_2^{k_2}...p_t^{k_t}$ mà $gcd(p_i^{a_i},p_j^{a_j})=1$ do đó $a_n \vdots a_{n-1}$
Suy ra $a_n\geq a_{n-1}\geq a_{n-2}\geq ...\geq a_1$
Như vậy $VT\geq VP$
Dấu $"="$ xảy ra khi $a_n=a_{n-1}=...=a_1$
Vậy $\boxed{(a_1,a_2,...,a_n)=(k,k,...,k)}$ với $n$ số $k$, $k$ nguyên dương

Quá tốt
Lời giải của mình cho bài này cũng gần giống như vậy.


@nguyenta98: Năm sau chú mà học KHTN thì các thầy quý chú lắm đấy =))

[nguyenta98]

Quá tốt
Lời giải của mình cho bài này cũng gần giống như vậy.


@nguyenta98: Năm sau chú mà học KHTN thì các thầy quý chú lắm đấy =))

Tất nhiên là em vào KHTN rồi , mọi người cứ tưởng em vào sư phạm nhưng không phải vậy đâu, anh biết thầy Lương KHTN ko?