Chủ đề này có 2 trả lời

[WhjteShadow]

Bài toán 1.[Đề thi cuối kì trường chuyên TB 2011]
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3$$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$a^3+b^3+c^3+5abc+4\geq 4(ab+bc+ca)$$

[davildark]

Bài toán 1.[Đề thi cuối kì trường chuyên TB 2011]
Ch0 các số thực dương $a,b,c$.Chứng minh rằng:
$$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}-3$$
Bài toán 2.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$a^3+b^3+c^3+5abc+4\geq 4(ab+bc+ca)$$

Bài 1 Viết lại bdt như sau
$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+6\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}$
$\Leftrightarrow \frac{(a+b)^2}{ab}+\frac{(b+c)^2}{bc}+\frac{(a+c)^2}{ac}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{ab+bc+ac}$
Đúng theo Cauchy-Schwarz
Bài 2 Ta dùng dồn biến
Đặt $f(a,b,c)=a^3+b^3+c^3+5abc+4-4(ab+bc+ac)$
Ta sẽ CM $f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\geq 0$
Xét $f(a,b,c)-f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc}) \\ =b^3+c^3-4a(b+c)-2bc\sqrt{bc}+2a\sqrt{bc} \\ =(\sqrt{b^3}-\sqrt{c^3})^2-4a(b+c-2\sqrt{bc}) \\ =(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2(b+\sqrt{bc}+c)^2-4a(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2 \\ =(\sqrt{b}-\sqrt{c})^2[((b+\sqrt{bc}+c)^2)-4a]$
Tới đây giả sử $a=min{a,b,c}$ thì $f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$
Ta cm tiếp $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\geq 0$
$a^3+2bc\sqrt{bc}+5abc+4\geq 8a\sqrt{bc}+4bc$
Tới đây tịt ngòi . Thử = máy tính thấy đúng mà CM chưa được

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davildark: 30-10-2012 - 20:57

[duongvanhehe]

Bài toán 2.
Ch0 các số thực không âm $a,b,c$.Chứng minh bất đẳng thức sau:
$$a^3+b^3+c^3+5abc+4\geq 4(ab+bc+ca)$$

Sử dụng BĐT Schur và kết quả quen thuộc : $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$
Ta có :
$a^3+b^3+c^3+5abc+4\geq (a+b)(b+c)(c+a)+4\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)+4$
$\geq \frac{8}{3\sqrt{3}}\sqrt{(ab+bc+ca)^3}+4$
$=4\left ( \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{(ab+bc+ca)^3}+ \frac{1}{3\sqrt{3}}\sqrt{(ab+bc+ca)^3}+1 \right )$
$\geq 4(ab+bc+ca)$ (AM-GM)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$