Chủ đề này có 8 trả lời

[yellow]

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
 

[Minhnguyenthe333]

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

Ta có: $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 2$
$<=>(x+y)^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 2(xy+1)$
$<=>(x+y)^2-2(xy+1)+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 0$
$<=>(x+y-\frac{xy+1}{x+y})^2= 0$
$<=>(x+y)^2=xy+1<=>\sqrt{1+xy}=x+y$ là số hữu tỉ
Do đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 20-07-2016 - 19:04

[dinhtrongnhan]

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

$x^{2}+y^{2}$+$\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^{2}=2$ (ĐK: x+y\neq0)

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}-2(xy+1)+(\frac{xy+1}{x+y})^{2}-2xy+2(xy+1)=2

$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}=2+2xy-2(xy+1) $

$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}=0 $

$\Leftrightarrow $x+y=\frac{xy+1}{x+y}$

$\Rightarrow (x+y)^{2}=1+xy$ $\sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$

Vì x,y là số hữu tỉ nên $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ

[Eun Kyo]

e là thành viên mới...ko biết đăng bài ở chỗ nào... ai đó chỉ e với ạ!!!!     

[nguyenduy287]

e là thành viên mới...ko biết đăng bài ở chỗ nào... ai đó chỉ e với ạ!!!!     

vào Box của diễn đàn sẽ có 1 chỗ ghi là Gửi bài mới thì nhấn vào nhé

[cristianoronaldo]

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x\\ b=y\\ c=\frac{-(xy+1)}{x+y}\end{matrix}\right.$

Ta dễ dàng suy ra:

$ab+bc+ca=-1$

Từ đấy ta có:

VT=$a^2+b^2+c^2\geq -2(ab+bc+ca)=2$=VP

Dấu ''='' xảy ra khi $x+y=\frac{xy+1}{x+y}\Rightarrow xy+1=(x+y)^2\Rightarrow \sqrt{1+xy}=x+y$ là hợp số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 20-07-2016 - 21:47

[Eun Kyo]

vào Box của diễn đàn sẽ có 1 chỗ ghi là Gửi bài mới thì nhấn vào nhé

tìm mãi mà ko thấy cái nút ấy nó ở đâu.. bạn chụp ảnh màn hình cho t xem chút đc ko??  

[chanhquocnghiem]

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
 

Mình thấy có bạn viết $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=x+y$

Bạn khác lại viết $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$

Vậy nên xin phép góp ý một chút.

Thực ra cách viết đúng phải là thế này : $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=\left | x+y \right |$ (là một số hữu tỷ)

[DangHongPhuc]

$\Rightarrow (x+y)^{2}=1+xy$ $\sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$

Vì x,y là số hữu tỉ nên $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ

$VT\geqslant 0$ chứ bạn, nên không thể là $\pm (x+y)$ được