Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 2 Bình chọn

Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 yellow

yellow

    Sĩ quan

  • Pre-Member
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Châu

Đã gửi 31-10-2012 - 17:44

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
 



$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$

#2 Minhnguyenthe333

Minhnguyenthe333

    Trung úy

  • Thành viên
  • 804 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK-ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:$\rho h \gamma S\iota cS$

Đã gửi 20-07-2016 - 18:47

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

Ta có: $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 2$
$<=>(x+y)^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 2(xy+1)$
$<=>(x+y)^2-2(xy+1)+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 0$
$<=>(x+y-\frac{xy+1}{x+y})^2= 0$
$<=>(x+y)^2=xy+1<=>\sqrt{1+xy}=x+y$ là số hữu tỉ
Do đó ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 20-07-2016 - 19:04


#3 dinhtrongnhan

dinhtrongnhan

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 25 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-07-2016 - 21:21

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.

$x^{2}+y^{2}$+$\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^{2}=2$ (ĐK: x+y\neq0)

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}-2(xy+1)+(\frac{xy+1}{x+y})^{2}-2xy+2(xy+1)=2

$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}=2+2xy-2(xy+1) $

$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}=0 $

$\Leftrightarrow $x+y=\frac{xy+1}{x+y}$

$\Rightarrow (x+y)^{2}=1+xy$ $\sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$

Vì x,y là số hữu tỉ nên $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ



#4 Eun Kyo

Eun Kyo

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách, nghe nhạc

Đã gửi 20-07-2016 - 21:31

e là thành viên mới...ko biết đăng bài ở chỗ nào... ai đó chỉ e với ạ!!!!  :(  :(  :(


Lúc trước tôi thường bay theo hướng bay của người khác...nhưng giờ tôi sẽ bay theo con đường mà mình đã lựa chọn


#5 nguyenduy287

nguyenduy287

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 256 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:chuyên lê quý đôn khánh hòa
  • Sở thích:onl facebook, nghe nhạc , giải toán

Đã gửi 20-07-2016 - 21:39

e là thành viên mới...ko biết đăng bài ở chỗ nào... ai đó chỉ e với ạ!!!!  :(  :(  :(

vào Box của diễn đàn sẽ có 1 chỗ ghi là Gửi bài mới thì nhấn vào nhé :D


  "DÙ BẠN NGHĨ BẠN CÓ THỂ HAY BẠN KHÔNG THỂ, BẠN ĐỀU ĐÚNG "

                                                                                               -Henry Ford -

  

 

 

 

 


#6 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 20-07-2016 - 21:46

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
 

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x\\ b=y\\ c=\frac{-(xy+1)}{x+y}\end{matrix}\right.$

Ta dễ dàng suy ra:

$ab+bc+ca=-1$

Từ đấy ta có:

VT=$a^2+b^2+c^2\geq -2(ab+bc+ca)=2$=VP

Dấu ''='' xảy ra khi $x+y=\frac{xy+1}{x+y}\Rightarrow xy+1=(x+y)^2\Rightarrow \sqrt{1+xy}=x+y$ là hợp số


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 20-07-2016 - 21:47

Nothing in your eyes


#7 Eun Kyo

Eun Kyo

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Sở thích:Đọc sách, nghe nhạc

Đã gửi 21-07-2016 - 09:02

vào Box của diễn đàn sẽ có 1 chỗ ghi là Gửi bài mới thì nhấn vào nhé :D

tìm mãi mà ko thấy cái nút ấy nó ở đâu.. bạn chụp ảnh màn hình cho t xem chút đc ko?? :blink:  :blink:


Lúc trước tôi thường bay theo hướng bay của người khác...nhưng giờ tôi sẽ bay theo con đường mà mình đã lựa chọn


#8 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1927 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 21-07-2016 - 11:40

Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
 

Mình thấy có bạn viết $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=x+y$

Bạn khác lại viết $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$

Vậy nên xin phép góp ý một chút.

Thực ra cách viết đúng phải là thế này : $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=\left | x+y \right |$ (là một số hữu tỷ)


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#9 DangHongPhuc

DangHongPhuc

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 657 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Vật Lý

Đã gửi 23-07-2016 - 20:55

$\Rightarrow (x+y)^{2}=1+xy$ $\sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$

Vì x,y là số hữu tỉ nên $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ

$VT\geqslant 0$ chứ bạn, nên không thể là $\pm (x+y)$ được


"Con người không sợ Thần

mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh