Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
#1
Đã gửi 31-10-2012 - 17:44
$\large{\int_{0}^{\infty }xdx<\heartsuit}$
#2
Đã gửi 20-07-2016 - 18:47
Ta có: $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 2$Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
$<=>(x+y)^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 2(xy+1)$
$<=>(x+y)^2-2(xy+1)+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2= 0$
$<=>(x+y-\frac{xy+1}{x+y})^2= 0$
$<=>(x+y)^2=xy+1<=>\sqrt{1+xy}=x+y$ là số hữu tỉ
Do đó ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnguyenthe333: 20-07-2016 - 19:04
- chanhquocnghiem, O0NgocDuy0O, quangminhltv99 và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 20-07-2016 - 21:21
Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
$x^{2}+y^{2}$+$\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^{2}=2$ (ĐK: x+y\neq0)
$\Leftrightarrow (x+y)^{2}-2(xy+1)+(\frac{xy+1}{x+y})^{2}-2xy+2(xy+1)=2
$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}=2+2xy-2(xy+1) $
$\Leftrightarrow (x+y-\frac{xy+1}{x+y})^{2}=0 $
$\Leftrightarrow $x+y=\frac{xy+1}{x+y}$
$\Rightarrow (x+y)^{2}=1+xy$ $\sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$
Vì x,y là số hữu tỉ nên $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ
#4
Đã gửi 20-07-2016 - 21:31
e là thành viên mới...ko biết đăng bài ở chỗ nào... ai đó chỉ e với ạ!!!!
Lúc trước tôi thường bay theo hướng bay của người khác...nhưng giờ tôi sẽ bay theo con đường mà mình đã lựa chọn
#6
Đã gửi 20-07-2016 - 21:46
Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
Đặt $\left\{\begin{matrix} a=x\\ b=y\\ c=\frac{-(xy+1)}{x+y}\end{matrix}\right.$
Ta dễ dàng suy ra:
$ab+bc+ca=-1$
Từ đấy ta có:
VT=$a^2+b^2+c^2\geq -2(ab+bc+ca)=2$=VP
Dấu ''='' xảy ra khi $x+y=\frac{xy+1}{x+y}\Rightarrow xy+1=(x+y)^2\Rightarrow \sqrt{1+xy}=x+y$ là hợp số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cristianoronaldo: 20-07-2016 - 21:47
- doremon01, nguyenduy287, Hagoromo và 1 người khác yêu thích
Nothing in your eyes
#7
Đã gửi 21-07-2016 - 09:02
vào Box của diễn đàn sẽ có 1 chỗ ghi là Gửi bài mới thì nhấn vào nhé
tìm mãi mà ko thấy cái nút ấy nó ở đâu.. bạn chụp ảnh màn hình cho t xem chút đc ko??
Lúc trước tôi thường bay theo hướng bay của người khác...nhưng giờ tôi sẽ bay theo con đường mà mình đã lựa chọn
#8
Đã gửi 21-07-2016 - 11:40
Cho $x$, $y$ là các số hữu tỉ thoả mãn đẳng thức $x^2+y^2+\left ( \frac{xy+1}{x+y} \right )^2 = 2$. Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là một số hữu tỉ.
Mình thấy có bạn viết $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=x+y$
Bạn khác lại viết $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$
Vậy nên xin phép góp ý một chút.
Thực ra cách viết đúng phải là thế này : $(x+y)^2=1+xy\Leftrightarrow \sqrt{1+xy}=\left | x+y \right |$ (là một số hữu tỷ)
- Minhnguyenthe333, Hagoromo, vothimyhanh và 1 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#9
Đã gửi 23-07-2016 - 20:55
$\Rightarrow (x+y)^{2}=1+xy$ $\sqrt{1+xy}=\pm (x+y)$
Vì x,y là số hữu tỉ nên $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ
$VT\geqslant 0$ chứ bạn, nên không thể là $\pm (x+y)$ được
"Con người không sợ Thần
mà bản thân nỗi sợ chính là Thần"
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh