Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * * * * 5 Bình chọn

Topic về Hàng điểm điều hòa,chùm điều hòa và tứ giác điều hòa

topic hàng điểm điều hòa chùm điều hòa tứ giác điều hòa ứng dụng

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 34 trả lời

#1 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 31-10-2012 - 18:53

*
Phổ biến

Như chúng ta đã biết,hàng điểm điều hòa,chùm đều hòa và tứ giác điều hòa là những kiến thức có ứng dụng rất lớn trong việc giải các bài toán hình học phẳng.Tuy nhiên,những kiến thức này lại khá mới mẻ đối với những học sinh vừa mới lên lớp 10.Vì vậy,mình xin lập Topic này để trao đổi,rèn luyện,tích lũy thêm kiến thức và có cách nhìn mới mẻ hơn,nắm chắc những kiến thức về hàng điểm điều hòa,chùm điều hòa và tứ giác điều hòa và ứng dụng của nó.
$\boxed{\text{Yêu cầu}}$:
1.Các bài toán phải liên quan đến Hàng điểm điều hòa,chùm điều hòa và tứ giác điều hòa.Tuy nhiên nếu bài toán có cách giải khác vẫn có thể post để tham khảo.
2.Tuyệt đối không Spam.Trình bày bài giải không vắn tắt,thật dễ hiểu.
3.Post bài phải ghi rõ số thứ tự bài và không nên post bài mới khi còn nhiều bài chưa được giải.
Mong mọi người tham gia,ủng hộ nhiệt tình :namtay :namtay :namtay .
$$**********************$$
Các định lí,tính chất cơ bản:(Sau này khi post bài bạn có thể ghi là "Áp dụng định lí 1","Áp dụng tính chất "...)
$\boxed{\text{Tính chất}}$
$I,$Tỉ số kép của một hàng điểm:
$1.(ABCD)\neq1$
$2.(ABCD)=(ABCD')$ thì $D \equiv D'$
$3.(ABCD)=(CDAB)=(BACD)$
$4.(ABCD)=\frac{1}{(BACD)}=\frac{1}{(ABDC)}$
$5.(ABCD)=1-(DBCA)=1-(ACBD)$
$6.$ Nếu $A,B,C,D,E$ là $5$ điểm thẳng hàng phân biệt thì $(ABCD).(ABDE)=(ABCE)$

$II,$ Hàng điểm điều hòa:
$7,$Nếu $(ABCD)=-1$ thì:$(CDAB)=(BADC)=(BACD)=(ABDC)=-1$ và $(DBCA)=(ACBD)=2$
Các hệ thức quan trọng:
Nếu $(ABCD)=-1$ thì:
$\frac{2}{\overline{AB}}=\frac{1}{\overline{AC}}+\frac{1}{\overline{AD}}$ (Hệ thức Đề-các)
$IA^2=\overline{IC}.\overline{ID}$ với $I$ là trung điểm $AB$ (Hệ thức Niu-tơn)
$\overline{AC}.\overline{AD}=\overline{AB}.\overline{AK}$ với $K$ là trung điểm $CD$ (Hệ thức Mac-lo-ranh)

Sau đây là một số bài tập đơn giản áp dụng,còn phần chùm điều hòa,tứ giác điều hòa mình sẽ post sau:
$\boxed{\text{Bài 1: }}$
Cho tam giác $ABC$ có $AD,AE$ là phân giác trong và ngoài góc $A$.Chứng minh rằng:$(BCDE)=-1$

$\boxed{\text{Bài 2: }}$
Cho hình bình hành $ABCD$.Đường thẳng qua $A$ cắt $BD,CD,BC$ lần lượt ở $M,N,P$.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{\overline{AM}}=\frac{1}{\overline{AN}}+\frac{1}{\overline{AP}}$

$\boxed{\text{Bài 3: }}$
Cho tam giác $ABC$.Trên đoạn $BC,CA,AB$ lần lượt lấy $M,N,P$ sao cho $AM,BN,CP$ đồng quy tại $O$.Giả sử $PN$ cắt $BC$ ở $Q$.Chứng minh rằng $(BCMQ)=-1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 31-10-2012 - 18:56

Hình đã gửi


#2 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 31-10-2012 - 19:00

$\boxed{\text{Bài 1: }}$
Cho tam giác $ABC$ có $AD,AE$ là phân giác trong và ngoài góc $A$.Chứng minh rằng:$(BCDE)=-1$

Áp dụng tính chất phân giác trong và phân giác ngoài
$\frac{DB}{DC}=\frac{EB}{EC}=\frac{A
B}{AC}$
chuyển về độ dài đại số $\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=-\frac{AB}{AC},\frac{\overline{EB}}{\overline{EC}}=\frac{AB}{AC}$
suy ra $\frac{\overline{DB}}{\overline{DC}}=-\frac{\overline{EB}}{\overline{EC}} =>(BCDE)=-1$

Link

 


#3 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 31-10-2012 - 19:12

$\boxed{\text{Bài 3: }}$
Cho tam giác $ABC$.Trên đoạn $BC,CA,AB$ lần lượt lấy $M,N,P$ sao cho $AM,BN,CP$ đồng quy tại $O$.Giả sử $PN$ cắt $BC$ ở $Q$.Chứng minh rằng $(BCMQ)=-1$

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABC có AM,BN,CP cắt nhau tại O
$\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=-1$
Áp dụng định lí menelaus cho tam giác ABC có P,N,Q thẳng hàng
$\frac{\overline{QB}}{\overline{QC}}.\frac{\overline{NC}}{\overline{NA}}.\frac{\overline{PA}}{\overline{PB}}=1$
Từ đó ta có $\frac{\overline{MB}}{\overline{MC}}=-\frac{\overline{QB}}{\overline{QC}} =>(BCMQ)=-1$

Link

 


#4 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 31-10-2012 - 19:42

$\boxed{\text{Định lí}}$
$III$,Tỉ số kép của chùm đường thẳng:
$1,$$(OABC)=(OA'B'C')\Leftrightarrow AA';BB';CC'$ đồng quy hoặc đôi một song song.
$2,$ Các đường thẳng$a,b,c,d$ đồng quy tại $S$.Các đường thẳng $a',b',c',d$ đồng quy tại $S'$.$a\cap a'=A;b\cap b'=B;c\cap c'=C$.Khi đó:$(a,b,c,d)=(a',b',c',d)\Leftrightarrow \overline{A,B,C}$
$IV,$Chùm điều hòa:
$3,$ Cho chùm đường thẳng $(a,b,c,d)$.Đường thẳng $\Delta ||AD;\Delta \cap (a,b,c)=(A,B,C)$.Khi đó:$(a,b,c,d)=-1\Leftrightarrow CA=CB$
$4,$ Cho chùm $S(a,b,c,d)=-1$.Nếu $d\perp c\Leftrightarrow d,c$ là phân giác trong và ngoài $\widehat{aSb}$
Bài tập áp dụng:
$\boxed{\text{Bài 4: }}$
Cho tam giác $ABC$,$AH\perp BC;I\in [AH];$.$BI,CI$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $E,F$.Chứng minh rằng:$AH$ là phân giác $\widehat{EHF}$

$\boxed{\text{Bài 5: }}$
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm.$A',B',C'$ là chân các đường cao trên $BC,CA,AB$.$K$ là trung điểm $AH$.$B'C'$ cắt $AH$ tại $L$.Chứng minh rằng $L$ là trực tâm tam giác $KBC$.

$IV$,Tứ giác điều hòa:
$5$,Nếu $ABCD$ là tứ giác điều hòa có $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp thì các điều kiện sau là tương đương:
a,$AB.CD=AD.BC$
b,$AA,CC,BD$ đồng quy hoặc đôi một song song và các hoán vị tương ứng ($AA,CC$ là tiếp tuyến của $(O)$)
c,$\forall M\in (O):M(ABCD)=-1$
$6$,Một số bổ đề quan trọng:
Bổ đề 1: Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$.$M,N,P,Q$ là các tiếp điểm trên $AB,BC,CD,DA$.Khi đó:$MP,NQ,AC,BD$ đồng quy

Bổ đề 2:Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$.$M,N,P,Q$ là các tiếp điểm trên $AB,BC,CD,DA$.Khi đó:$MQ,NP,BD$ đồng quy.

Bổ đề 3:Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$.$M,N,P,Q$ là các tiếp điểm trên $AB,BC,CD,DA$.$K$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$.Khi đó:$OK\perp AC$

Bổ đề 4:Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$.$M,N,P,Q$ là các tiếp điểm trên $AB,BC,CD,DA$.$K$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ và $I$ là giao điểm của $MP$ với $QN$.Khi đó:$(DBIK)=-1$

Bổ đề 5:Cho $A,B$ cố định.$M$ là điểm thỏa mãn $\frac{MA}{MB}=k$ là hằng số.Khi đó,quỹ tích $M$ là một đường tròn cố định(Đường tròn Apolonius)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 02-11-2012 - 10:27

Hình đã gửi


#5 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 31-10-2012 - 19:59

$\boxed{\text{Bài 4: }}$
Cho tam giác $ABC$,$AH\perp BC;I\in [AH];$.$BI,CI$ lần lượt cắt $AC,AB$ tại $E,F$.Chứng minh rằng:$AH$ là phân giác $\widehat{EHF}$

Gọi M là giao điểm của EF,N là giao điểm của EF và AH.theo bài 3 ở trên, $(MHBC)=-1=>(AM,AH,AB,AC)=-1=>(AM,AN,AF,AE)=-1=>(M,N,F,E)=-1$
$\widehat{MHN}=90^o=>AH$ là phân giác $\widehat{EHF}$

Link

 


#6 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-10-2012 - 20:11

Xin gửi tặng t0pic 1 tài liệu mình thấy là rất hay về hàng điểm điều hòa của anh Kim Luân :")
File gửi kèm  A.THCS.hang_diem_split_1_4025.pdf   389.46K   2383 Số lần tải
File gửi kèm  A.THCS.hang_diem_split_2_3449.pdf   359.14K   2388 Số lần tải
File gửi kèm  A.THCS.hang_diem_split_3_7307.pdf   387.96K   1623 Số lần tải

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#7 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 01-11-2012 - 20:00

Bài 6:
Cho tam giác $ABC$ có $AA';BB';CC'$ đồng quy tại $O$.Từ $A'$ kẻ $A'M$ vuông góc với $B'C'$.Từ $M$ hạ các đường vuông góc $MX,MY,MZ,MT$ xuống $OB';OC',AB';AC'$.Chứng minh rằng $X,Y,Z,T$ cùng thuộc một đường tròn

Hình đã gửi


#8 Secrets In Inequalities VP

Secrets In Inequalities VP

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 309 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Xem phim.

Đã gửi 01-11-2012 - 20:44

Bài 6:
Cho tam giác $ABC$ có $AA';BB';CC'$ đồng quy tại $O$.Từ $A'$ kẻ $A'M$ vuông góc với $B'C'$.Từ $M$ hạ các đường vuông góc $MX,MY,MZ,MT$ xuống $OB';OC',AB';AC'$.Chứng minh rằng $X,Y,Z,T$ cùng thuộc một đường tròn

+ TH1 : $B^{'}C^{'}//BC$ dễ thấy $Q.E.D$
+ TH2 : $B^{'}C^{'}$ không song song với $BC$ . Gọi $K=B^{'}C^{'}\cap BC;S= B^{'}C^{'}\cap AA^{'}$
Suy ra $(KA^{'}BC)= -1\Rightarrow (SA^{'}OA)= -1$ ( qua phép chiếu xuyên tâm $B$
$\Rightarrow (AOSA^{'})= -1\Rightarrow M(AOSA^{'})= -1$
Mà lại có : $SM\perp A^{'}M\Rightarrow \angle SMA= \angle SMO\Rightarrow \angle C^{'}MA= \angle C^{'}MO$
Từ đây chỉ cần cộng góc thuần túy là ta có ngay $Q.E.D$

#9 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 02-11-2012 - 10:39

Bài 7:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$.$E$ chạy trên $(O)$.Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $B,C$ cắt $AE$ tại $M,N$.$CM$ cắt $BN$ tại $F$.Chứng minh rằng $EF$luôn đi qua một điểm cố định.

Giải nốt bài 2(Chắc dễ quá không ai buồn làm):
Trên $AP$ lấy $E$ sao cho $M$ là trung điểm $AE$.
Ta có:
$\frac{1}{\overline{AM}}=\frac{1}{\overline{AN}}+\frac{1}{\overline{AP}}\Leftrightarrow \frac{2}{\overline{AE}}=\frac{1}{\overline{AN}}+\frac{1}{\overline{AP}}$$\Leftrightarrow (AENP)=-1$ (Hệ thức Đề-các)
$\Leftrightarrow MA^2=\overline{MN}.\overline{MP}$ (Hệ thức Niu-tơn)
$\Leftrightarrow \frac{\overline{MA}}{\overline{MN}}=\frac{\overline{MP}}{\overline{MA}}$
Ta cần chứng minh $\frac{\overline{MA}}{\overline{MN}}=\frac{\overline{MP}}{\overline{MA}}$
Thật vậy,Vì $AB||CD;AD||BC$ nên $\frac{\overline{MA}}{\overline{MN}}=\frac{\overline{MP}}{\overline{MA}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{MD}}$
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 02-11-2012 - 10:41

Hình đã gửi


#10 Math Is Love

Math Is Love

    $\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$

  • Thành viên
  • 620 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K46 Toán 1 CSP và HMU K113
  • Sở thích:$$\mathfrak{Inequality}$$
    $$\mathfrak{Number Theory}$$
    $$\mathfrak{Analysis}$$

Đã gửi 03-11-2012 - 10:47

Bài 8:
Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$.Từ $S$ ngoài đường tròn,kẻ hai tiếp tuyến $\Delta_1 ;\Delta_2$ tới $(O)$.$A_1;B_1;C_1;D_1$ là chân các đường vuông góc hạ từ $A,B,C,D$ xuống $\Delta_1$.$A_2;B_2;C_2;D_2$ tương tự trên $\Delta_2$.Chứng minh rằng:$\frac{AA_1.CC_1}{BB_1.DD_1}=\frac{AA_2.CC_2}{BB_2.DD_2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doxuantung97: 03-11-2012 - 10:47

Hình đã gửi


#11 chinhanh9

chinhanh9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 162 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-03-2013 - 11:10

Sau đây là một bài toán về chùm điều hòa, tạm gọi là bài toán 4 tia:
Bài 9: Cho chùm điều hòa $(Ax, Ay,Az,At)= -1$.$X$ là một điểm bất kì nằm trên tia $Ax$. Hai đường thẳng $a,a'$ qua $X$ cắt đường thẳng $Ay, Az,At$ theo thứ tự tại $Y,Z,T$ và $Y',Z',T'$.Chứng minh $Y'T,YT',AZ'$đồng quy.
Sau đây là một số bài toán áp dụng đơn giản:
Bài 9.1: Cho hình thang $ABCD, AB//CD$. $M$ là trung điểm của $CD$. $I$ là một điểm thuộc $AB$. $AM$cắt $BD,DI$ lần lượt tại $E,F$. $IE$ cắt $BF$ tại $N$. Chứng minh: $A,N,C$ thẳng hàng.
Bài 9.2: Cho hình thang $ABCD, AB//CD$, $M$ là một điểm bất kì trên $AD$. $AC$ cắt $BM,BD$ lần lượt tại $F,E$.$DF$ cắt $ME$ tại $I$, $AM$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh: $N$là trung điểm của $CD$.
Bài toán mở rộng của bài toán 4 tia, tạm gọi là bài toán 6 tia:
Bài 10: Cho sáu tia $Ax,Ay,Az,At,Au,Av$ thỏa mãn: $(Ax,At,Ay,Av)= -1, (Ax,At,Az,Au)= -1$
$I$ là một điểm bất kì trên $Ax$. Qua $I$ kẻ hai đường thẳng $a,a'$ sao cho $a$ cắt $Ay,Av$ tại $M,N$,$a'$ cắt $Az,Au$ tại $P,Q$ Chứng minh:$MQ,PN,At$ đồng quy.
P/S: Đây là bài mình gửi MS cách đây đã hơi lâu... bây giờ gặp topic này tự nhiên muốn post lại :wub:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chinhanh9: 10-03-2013 - 11:12

>:)  >:)  >:)    HỌC ĐỂ KIẾM TIỀN    >:)  >:)  >:) 


#12 N H Tu prince

N H Tu prince

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 388 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Di Linh

Đã gửi 10-03-2013 - 19:22

$\boxed{\text{Bài 5: }}$
Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm.$A',B',C'$ là chân các đường cao trên $BC,CA,AB$.$K$ là trung điểm $AH$.$B'C'$ cắt $AH$ tại $L$.Chứng minh rằng $L$ là trực tâm tam giác $KBC$.

Topic khá hay nhưng giờ trầm quá
Trường hợp $B'C'//BC$ tức $\Delta ABC$ cân,dễ dàng có $Q.E.D$
Trường hợp $B'C'$ cắt $BC$ tại D
untitled.JPG
Gọi E là giao điểm của AH với đường tròn ngoại tiếp ABC thì $A'H=A'E$
Theo bổ đề là bài 3 thì $(DA'BC)=-1=>B'(AHLA')=-1$
suy ra theo hệ thức Maclaurin,ta có $\overline{A'H}.\overline{A'A}=\overline{A'L}.\overline{A'I}=>\overline{A'E}.\overline{A'A}=\overline{A'L}.\overline{A'I}=>\overline{A'B}.\overline{A'C}=\overline{A'L}.\overline{A'I}$
$=>\Delta HA'B\sim \Delta IA'C=>\widehat{HBA'}=\widehat{HIC}=>\Delta HBA'\sim \Delta HIC=>AK\perp
IC=>Q.E.D$

Link

 


#13 deathavailable

deathavailable

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành - Yên Bái
  • Sở thích:Chơi game!!

Đã gửi 27-09-2013 - 20:07

Topic Hay như thế này sao không ai duy trì nhỉ???

Mình đóng góp thêm vài bài cơ bản :D

 

BÀI 1:Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là tiếp điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Gọi K là giao điểm của MQ với NP. Gọi E và F là 2 tiếp tuyến của K với (O). CMR:

a, A,E,F,C thẳng hàng

b, OK vuông góc Ac

 


Bổ đề 4:Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$.$M,N,P,Q$ là các tiếp điểm trên $AB,BC,CD,DA$.$K$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ và $I$ là giao điểm của $MP$ với $QN$.Khi đó:$(DBIK)=-1$

Bổ đề 5:Cho $A,B$ cố định.$M$ là điểm thỏa mãn $\frac{MA}{MB}=k$ là hằng số.Khi đó,quỹ tích $M$ là một đường tròn cố định(Đường tròn Apolonius)

Bạn(anh) có thể chứng minh các bổ đề trên được không ạ


Ế là xu thế mang tầm cỡ quốc tế của các cấp bậc vai vế

 


#14 pham thuan thanh

pham thuan thanh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trực và THPT chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!

Đã gửi 02-10-2013 - 16:28


Bổ đề 5:Cho $A,B$ cố định.$M$ là điểm thỏa mãn $\frac{MA}{MB}=k$ là hằng số.Khi đó,quỹ tích $M$ là một đường tròn cố định(Đường tròn Apolonius)

lấy N và K trên AB sao cho MN,MK lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc AMB. sau đó chứng minh N,K cố định. suy ra quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính NK.


Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!

 


#15 pham thuan thanh

pham thuan thanh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trực và THPT chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!

Đã gửi 02-10-2013 - 16:40

Bổ đề 4:Cho tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$.$M,N,P,Q$ là các tiếp điểm trên $AB,BC,CD,DA$.$K$ là giao điểm của $MQ$ và $NP$ và $I$ là giao điểm của $MP$ với $QN$.Khi đó:$(DBIK)=-1$

 áp dụng định lý Mê nê la uýt cho tam giác  với 3 điểm thẳng hàng K,M,Q ta có :$\frac{KB}{KD}.\frac{QD}{QA}.\frac{MA}{MB}=1$ hay $\frac{KB}{KD}.\frac{MB}{QD}$ do( QA=MA) (*). Mặt khác theo bổ đề 1 thì ta có : $\frac{MB}{QD}=\frac{IB}{ID}$ (**) .Từ (*) (**) suy ra $\frac{KB}{KD}=\frac{IB}{ID}$ .Vì I nằm trong đoạn BD và K nằm trong đoạn BD nên :$\frac{\overline{KB}}{\overline{KD}}=-\frac{\overline{IB}}{\overline{ID}}$ . vậy (D,B,I,K)=-1 (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pham thuan thanh: 02-10-2013 - 16:41

Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!

 


#16 thienthanaotrang

thienthanaotrang

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 27 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên hà tĩnh
  • Sở thích:Tự do làm việc

Đã gửi 18-10-2013 - 20:03

bài 11: Cho $(O)$ .Từ điểm $S$ bất kì ngoài đường tròn ta kẻ tiếp tuyến $SA,SB$. Kẻ cát tuyến $SCD$. Giao điểm của $AB$ và $CD$ tại $I$.Cm rằng $(SICD)=-1$

#17 pham thuan thanh

pham thuan thanh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 110 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Trực và THPT chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!

Đã gửi 20-10-2013 - 08:32

cho tam giác ABC. E,F là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp(I) với các cạnh AC,AB. M là trung điểm BC. N là giao điể, của AM và EF và (M) là đường tròn đường kính BC. BI và CI cắt (M) tại X,Y khác B<C. CMR: $\frac{NX}{NY}=\frac{AC}{AB}$


Khi tin là có thể là bạn đã đạt được một nửa thành công!

 


#18 Phanh

Phanh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 220 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Bắc Giang

Đã gửi 03-11-2013 - 14:19

Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác ABC.Phân giác góc BAC cắt BC tại D, cắt O tại E. Đường tròn đường kính DE cắt (O) tại F.Chứng minh rằng AF là đường đối trung của tam giác ABC.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phanh: 03-11-2013 - 14:19


#19 Khang Hy

Khang Hy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi
  • Sở thích:Giải Toán, nghe nhạc, thích high notes

Đã gửi 31-12-2013 - 17:28

Bài 7:Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$.$E$ chạy trên $(O)$.Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $B,C$ cắt $AE$ tại $M,N$.$CM$ cắt $BN$ tại $F$.Chứng minh rằng $EF$luôn đi qua một điểm cố định.

Giải nốt bài 2(Chắc dễ quá không ai buồn làm):
Trên $AP$ lấy $E$ sao cho $M$ là trung điểm $AE$.
Ta có:
$\frac{1}{\overline{AM}}=\frac{1}{\overline{AN}}+\frac{1}{\overline{AP}}\Leftrightarrow \frac{2}{\overline{AE}}=\frac{1}{\overline{AN}}+\frac{1}{\overline{AP}}$$\Leftrightarrow (AENP)=-1$ (Hệ thức Đề-các)
$\Leftrightarrow MA^2=\overline{MN}.\overline{MP}$ (Hệ thức Niu-tơn)
$\Leftrightarrow \frac{\overline{MA}}{\overline{MN}}=\frac{\overline{MP}}{\overline{MA}}$
Ta cần chứng minh $\frac{\overline{MA}}{\overline{MN}}=\frac{\overline{MP}}{\overline{MA}}$
Thật vậy,Vì $AB||CD;AD||BC$ nên $\frac{\overline{MA}}{\overline{MN}}=\frac{\overline{MP}}{\overline{MA}}=\frac{\overline{MB}}{\overline{MD}}$
Vậy ta có đpcm

bài 7 giải như thế nào vậy anh?



#20 PolarBear154

PolarBear154

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 396 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Cát bụi
  • Sở thích:Ngất ngưởng =)

Đã gửi 30-01-2014 - 15:34

Tứ giác ABCD điều hoà,M là trung điểm của BD thì liệu có chứng minh đc BD là phân giác góc AMC không ạ? Nếu có thì chứng minh như thế nào ạ?


Trong bất cứ hoàn cảnh công việc nào, không cúi đầu trước cái ác, không lùi trước hiểm nạn. Nhìn thẳng và đi trên con đường mình đã chọn: con đường mà sự nhẫn nại bao dung là những bước đi tới, hành trang là những ước mơ vô cùng bé nhỏ- chỉ xin làm một cành dương tưới trên cuộc đời đầy rẫy khô khát và bất trắc... 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: topic, hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa, tứ giác điều hòa, ứng dụng

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh