Chủ đề này có 4 trả lời

[Joker9999]

cho m,n là 2 số nguyên dương, m>n. Chứng minh:
[m,n]+[m+1,n+1]>$\frac{2mn}{\sqrt{n-m}}$

trong đó [a,b] là bội chung nhỏ nhất của 2 số a,b.

[nguyenta98]

cho m,n là 2 số nguyên dương, m>n. Chứng minh:
[m,n]+[m+1,n+1]>$\frac{2mn}{\sqrt{n-m}}$

trong đó [a,b] là bội chung nhỏ nhất của 2 số a,b.

Đề phải là $m-n$ chứ vì $m>n$ mà bạn
Giải như sau:
Đặt $gcd(m,n)=d \Rightarrow m=dx,n=dy,gcd(x,y)=1$
Khi đó $[m,n]=\dfrac{mn}{gcd(m,n)}=dxy$
Ta đặt $gcd(m+1,n+1)=p$ khi đó $dx+1 \vdots p$ và $dy+1 \vdots p$
TH1: $p=1$ khi ấy $[m+1,n+1]=\dfrac{(m+1)(n+1)}{gcd(m+1,n+1)}=(m+1)(n+1)=(dx+1)(dy+1)$
Và $\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}=\dfrac{2d^2xy}{\sqrt{d}.\sqrt{x-y}}$
Khi đó cần cm $dxy+(dx+1)(dy+1)>\dfrac{2d^2xy}{\sqrt{d}.\sqrt{x-y}}$
Lại có $m>n$ nên $x-y\geq 1$ do đó $\dfrac{2d^2xy}{\sqrt{d}.\sqrt{x-y}}\le \dfrac{2d^2xy}{\sqrt{d}}=2\sqrt{d}^3.xy$
Như vậy cần cm $(d+d^2)xy+d(x+y)+1>2\sqrt{d}^3.xy$
Theo BDT cô si cho hai số suy ra $d+d^2\geq 2\sqrt{d}^3$ do đó $(d+d^2)xy>2\sqrt{d}^3.xy$ như vậy có $đpcm$
TH2: $p>1$ khi đó $p$ có ít nhất $1$ ước lớn hơn $1$ (hay khác $1$)
Suy ra $d(x-y) \vdots p$ khi ấy $(x-y) \vdots p$ vì nếu $gcd(d,p)\neq 1$ giả sử $d \vdots r$ và $p \vdots r$ với $r$ khác $1$
Khi ấy $dx+1 \vdots p \vdots r$ mà $dx \vdots d \vdots r$ do đó $1 \vdots r \Rightarrow r=1$ vô lí vì ta giả sử $r\neq 1$
Do đó $(x-y) \vdots p$ do đó $x-y\geq p$
Như vậy $[m+1,n+1]=\dfrac{(m+1)(n+1)}{gcd(m+1,n+1)}=\dfrac{(dx+1)(dy+1)}{p}\geq \dfrac{(dx+1)(dy+1)}{x-y}$
Còn $\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}=\dfrac{2.d.\sqrt{d}.xy}{\sqrt{x-y}}$
Do đó cần cm $dxy+\dfrac{(dx+1)(dy+1)}{x-y}> \dfrac{2.d.\sqrt{d}.xy}{\sqrt{x-y}}$
$\Leftrightarrow dxy(x-y)+(dx+1)(dy+1)>2.d.\sqrt{d}.xy.\sqrt{x-y}$
$\Leftrightarrow dxy(x-y)+d^2xy+d(x+y)+1>2.d.\sqrt{d}.xy.\sqrt{x-y}$
$\Leftrightarrow dxy(x-y)+d^2xy+d(x+y)\geq 2.d.\sqrt{d}.xy.\sqrt{x-y}$
$\Leftrightarrow xy(x-y)+dxy+(x+y)\geq 2\sqrt{d}.\sqrt{x-y}.xy$
Theo BDT cô si $xy(x-y)+dxy=xy(x-y+d)\geq xy.2\sqrt{x-y}.\sqrt{d}$
Do đó vì ta đã biến đổi tương đương nên có ngay $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-10-2012 - 21:39

[nguyenta98]

cho m,n là 2 số nguyên dương, m>n. Chứng minh:
[m,n]+[m+1,n+1]>$\frac{2mn}{\sqrt{m-n}}$

trong đó [a,b] là bội chung nhỏ nhất của 2 số a,b.

Một cách giải khác
Giải như sau:
Kí hiệu $(m,n)=gcd(m,n)$ và $(m,n)=(m-n,n)$ và $(m+1,n+1)=(m-n,n+1)$ thuật toán Euclude
$VT=\dfrac{mn}{(m,n)}+\dfrac{(m+1)(n+1)}{(m+1,n+1)}>mn\left(\dfrac{1}{(m,n)}+\dfrac{1}{(m+1,n+1)}\right)=mn\left(\dfrac{1}{(m-n,n)}+\dfrac{1}{(m-n,n+1)}\right)\geq \dfrac{2mn}{\sqrt{(m-n,n)(m-n,n+1)}}>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}$ (vì $gcd(n,n+1)=1$)
Như vậy ta cần cm $(m-n,n)(m-n,n+1)<m-n$
Đặt $m-n=dx,n=dy$ và $m-n=ea,n+1=eb$ với $gcd(x,y)=gcd(a,b)=1$
Như vậy $(m-n,n)(m-n,n+1)=de$ do đó cần cm $de<dx \Rightarrow e<x$
Mặt khác $n=dx,n+1=eb,gcd(n+1,n)=1 \Rightarrow$ $d,y,e,b$ nguyên tố cùng nhau đôi một $(1)$
Tuy nhiên $dx=ea$ mặt khác $gcd(d,e)=1$ (theo $(1)$) mà $dx \vdots e$ nên $x \vdots e \Rightarrow x\geq e$
Suy ra $đpcm$

P/S đã sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-10-2012 - 22:56

[Joker9999]

Tuy nhiên $dx=ea$ mặt khác $gcd(d,e)=1$ (theo $(1)$) mà $dx \vdots e$ nên $x \vdots e \Rightarrow x\geq e$ nhưng nếu $x=e$ thì $b=d$ mà $gcd(d,b)=1$ (theo $(1)$) nên dấu $=$ không xảy ra do đó $VT>VP$ thực sự

tại sao x=e thì b=d vậy bạn

[nguyenta98]

tại sao x=e thì b=d vậy bạn

Sorry, mình viết lộn, thực ra bỏ chỗ đó đi cũng được vì mình đã có một dấu $>$ ở trên rồi