Cho n là số tự nhiên
Cm (1+1/n)<3
Bắt đầu bởi 899225, 31-10-2012 - 21:26
#1
Đã gửi 31-10-2012 - 21:26
#2
Đã gửi 31-10-2012 - 22:22
Ta có $\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n \underset{n \infty }{\rightarrow}e < 3$
#3
Đã gửi 01-11-2012 - 00:38
Nếu bạn học Lim rồi thì có thể biết $e=\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n\approx 2,718$
Hoặc có thể dùng hệ thức Newton như sau
Ta có $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=\sum_{k=0}^{n}\textrm{C}_{k}^{n}\frac{1}{n^k}=1+1+\textrm{C}_{n}^{2}\frac{1}{n^2}+...+\textrm{C}_{n}^{n}\frac{1}{n^n}=2+ H_A$
Từ đó ta sẽ chứng minh $H_A< 1$
BĐT tương đương với $\frac{n!}{2!(n-2)!}.\frac{1}{n^2}+\frac{n!}{3!(n-3)!}.\frac{1}{n^3}+...+\frac{1}{n^n}< 1 \Leftrightarrow \frac{n-1}{2!.n}+\frac{(n-1)(n-2)}{3!.n^2}+...+\frac{1}{n^n}< 1$
Nhưng ta lại có $\frac{n-1}{n}< 1,\frac{(n-1)(n-2)}{n^2}< 1....$ (1)
$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{n!}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}= 1-\frac{1}{n}< 1$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều cần chứng minh?
Hoặc có thể dùng hệ thức Newton như sau
Ta có $\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n=\sum_{k=0}^{n}\textrm{C}_{k}^{n}\frac{1}{n^k}=1+1+\textrm{C}_{n}^{2}\frac{1}{n^2}+...+\textrm{C}_{n}^{n}\frac{1}{n^n}=2+ H_A$
Từ đó ta sẽ chứng minh $H_A< 1$
BĐT tương đương với $\frac{n!}{2!(n-2)!}.\frac{1}{n^2}+\frac{n!}{3!(n-3)!}.\frac{1}{n^3}+...+\frac{1}{n^n}< 1 \Leftrightarrow \frac{n-1}{2!.n}+\frac{(n-1)(n-2)}{3!.n^2}+...+\frac{1}{n^n}< 1$
Nhưng ta lại có $\frac{n-1}{n}< 1,\frac{(n-1)(n-2)}{n^2}< 1....$ (1)
$\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{n!}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n(n-1)}= 1-\frac{1}{n}< 1$ (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra điều cần chứng minh?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 01-11-2012 - 00:47
- funcalys yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh