Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Sử dụng khai triển $Abel$ để chứng minh bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 26 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 31-10-2012 - 21:59

*
Phổ biến

Phép nhóm $Abel$ là 1 phương pháp khá hiệu quả trong chứng minh bất đẳng thức . Đặc biệt là các bài toán có điều kiện nhiều và phức tạp mà mình đã nêu 1 số bài tại topic trên diễn đàn. Do đó mình cùng anh Việt ,anh Tú,anh Kiên viết chuyên đề này để qua đó các bạn THCS sắp thi vào cấp 3 cũng như các bạn THPT sắp thi tỉnh,đại học hay quốc gia có thêm kiến thức,kinh nghiệm để giải lớp bài toán này :)
Thân tặng toàn bộ thành viên VMF và tập thể các bạn lớp 10 toán 1 Chuyên Thái Bình năm học 2012-2013!Chúc các bạn luôn vui vẻ trong học tập và tr0ng cuộc sống.


File gửi kèm  Abel.pdf   425.93K   9744 Số lần tải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-05-2016 - 21:25

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 31-10-2012 - 22:36

Tài liệu lý thú hơn anh nghĩ :D.

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#3 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 04-06-2013 - 15:58

*
Phổ biến


Trong những kì thi vào chuyên toán, những kì thi HSG thì bất đẳng thức là 1 phần rất khó và được rất nhiều thầy cô giáo cũng như học sinh quan tâm đến. Những năm gần đây thì các kì thi đều có xu hướng không ra những bài BĐT đối xứng nữa, mà thay vào đó là những BĐT với rất nhiều điều kiện cũng như thứ tự giữa các biến. Hôm nay mình xin phép được trình bày về 1 phương pháp giải các dạng BĐT này, đó là phép nhóm Abel 

    1.     PHÉP NHÓM ABEL

Cho 2 dãy số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{n}$. Kí hiệu $S_{k}=b_{1}+b_{2}+...+b_{k}$. Khi đó ta có đẳng thức:

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}=(a_{1}-a_{2})S_{1}+(a_{2}-a_{3})S_{2}+...+(a_{n-1}-a_{n})S_{n-1}+a_{n}S_{n}$

2 trường hợp mà chúng ta hay dùng nhất là

·         $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=(a_{1}-a_{2})b_{1}+a_{2}(b_{1}+b_{2})$

·         $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=(a_{1}-a_{2})b_{1}+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2})+a_{3}(b_{1}+b_{2}+b_{3})$

      2. CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 1:Với $\alpha \geq \beta \geq \gamma > 0$; $a\geq \alpha , ab\geq \alpha \beta , abc\geq \alpha \beta \gamma$. Chứng minh rằng :

$a+b+c\geq \alpha +\beta +\gamma$

Giải

Sử dụng phép nhóm Abel ta có $a+b+c=\gamma (\frac{a}{\alpha }+\frac{b}{\beta }+\frac{c}{\gamma })+(\beta -\gamma )\left ( \frac{a}{\alpha }+\frac{b}{\beta } \right )+\left ( \alpha -\beta \right )\frac{a}{\alpha }\geq 3\gamma \sqrt[3]{\frac{abc}{\alpha \beta \gamma }}+2(\beta -\gamma )\sqrt{\frac{ab}{\alpha \beta }}+(\alpha -\beta )\frac{a}{\alpha }\geq 3\gamma +2(\beta -\gamma )+\left ( \alpha -\beta \right )=\alpha +\beta +\gamma$

(đpcm)

Bài toán 2:Với $0< a\leq b\leq c, bc\leq 6, abc\leq 6$. Chứng minh rằng:

$a+b+c\leq 6$

Giải

Ta có $6=1+2+3=a(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(b-a)(\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(c-b)\frac{3}{c}\Rightarrow 6\geq 3a\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}+2(b-a)\sqrt{\frac{6}{bc}}+(c-b)\frac{3}{c}\geq a+b+c$

(đpcm)

Từ những ví dụ trên, ta có thể rút ra phương pháp giải cho những BĐT dạng này

Bước 1:Xác định dấu đẳng thức xảy ra khi nào bằng cách chuyển các điều kiện đã cho thành đẳng thức

Bước 2:Viết lại đẳng thức cần chứng minh dưới dạng đối xứng 2 vế

Bước 3:Áp dụng phép nhóm Abel cho 1 vế của 1 BĐT theo điều kiện thứ tự

Dưới đây là 1 số ví dụ minh họa

Bài toán 3:Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $a\geq b\geq 1, a\leq 3, ab\leq 6, ab\leq 6c$. Chứng minh rằng:

$a+b-c\leq 4$

Giải

Bằng cách chuyển tất cả những điều kiện đã cho thành đẳng thức, ta dự đoán dấu bằng sẽ xảy ra khi $a=3,b=2,c=1$. Do đó ta sẽ viết BĐT cần chứng minh dưới dạng:

$a+b+1\leq 3+2+c$

Áp dụng phép nhóm Abel, ta có $3+2+c=(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{c}{1})+(b-1)\left ( \frac{3}{a}+\frac{2}{b} \right )+\frac{3}{a}(a-b)\geq 3\sqrt[3]{\frac{6c}{ab}}+2(b-1)\sqrt{\frac{6}{ab}}+(a-b)=a+b+1$

(đpcm)

Bài toán 4:Với $a,b,c> 0, \frac{b}{2}+c\leq 2, \frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\leq 3, c\leq 1$, chứng minh rằng:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{11}{6}$

Giải

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )\left ( \frac{2}{b}+\frac{1}{c} \right )+\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\frac{1}{c}\geq \frac{1}{3}.\frac{9}{\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}).\frac{4}{\frac{b}{2}+c}+\left ( 1-\frac{1}{2} \right ).\frac{1}{c}\geq \frac{1}{3}.3+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}).2+\left ( 1-\frac{1}{2} \right )=\frac{11}{6}$ 

(đpcm)

Bài toán 5:Cho $0< x< y\leq z\leq 1$ và $3x+2y+z=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=3x^2+2y^2+z^2$

(Đề thi HSG toán lớp 9 thành phố HCM năm 2007)

Giải

Áp dụng phép nhóm Abel kết hợp với giả thiết, ta có:

$P=z.z+2y.y+3x.x=z(z-y)+(z+2y)(y-x)+x(x+2y+3z)\leq (z-y)+(1+2)(y-x)+4x=z+2y+x=\frac{1}{3}(3z+2.3.y+3.x)= \frac{1}{3}\left [ z(3-3)+(z+2y)(3-1)+z+2y+3x \right ]=\frac{1}{3}\left [ 2(z+2y)+x+2y+3z \right ]\leq \frac{10}{3}$

(đpcm)

(Bài toán này còn 1 cách sử dụng BĐT C-S, các bạn có thể tham khảo tại đây:http://diendantoanho...6540-t3x22y2z2/)

Bài toán 6:Với $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a\leq b\leq 3,a+b\leq 5$, tìm GTLN của biểu thức:

$P=a^2(a+1)+b^2(b+1)$

(Đề thi thử Toán chung trường THPT chuyên  KHTN năm 2012)

Giải

Ta sẽ chứng minh $P=a^2+a^3+b^2+b^3\leq 2^2+2^3+3^2+3^3\Leftrightarrow (3^3-b^3)+(3^3-b^2)+(2^3-a^3)+(2^2-b^2)\geq 0\Leftrightarrow (3-b)(b^2+3b+9)+(2-a)(a^2+2a+4)+(3-b)(3+b)+(2-a)(2+a)\geq 0\Leftrightarrow (3-b)\left [ (b^2+3b+9)-(a^2+2a+4) \right ]+(3-b)\left [ (3+b)-(2+a) \right ]+\left [ 5-(a+b) \right ](a^2+2a+4)+\left [ 5-(a+b) \right ](a+2)\geq 0$

(đúng)

Bài toán 7:Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=9$, $x\geq 5, x+y\geq 8$. Chứng minh rằng:

$xyz\leq 15$

(Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hải Dương năm 2008-2009)

Giải

Phản chứng, giả sử $xyz> 15$. Ta có $z=9-x-y\leq 1\Rightarrow xy> \frac{15}{z}\geq 15$

Áp dụng phép nhóm Abel và BĐT AM-GM, ta có:

$x+y+z=\frac{x}{5}.5+\frac{y}{3}.3+z.1=2\frac{x}{5}+2(\frac{x}{5}+\frac{y}{3})+(\frac{x}{5}+\frac{y}{3}+z)\geq 2.\frac{x}{5}+4\sqrt{\frac{xy}{15}}+3\sqrt[3]{\frac{xyz}{15}}> 2+4+3=9$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy $xyz\leq 15$

Bài toán 8:Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a\leq b\leq 3\leq c$, $c\geq b+1, a+b\geq c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

(Đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên KHTN năm 2012)

Giải

Trước tiên ta sẽ thu gọn biểu thức đang rất cồng kềnh

$P=\frac{1}{1+c}+\frac{ab+abc-c-1}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{1}{1+c}+\left [ \frac{ab-1}{(1+a)(1+b)}+1 \right ]-1=\frac{1}{1+c}-1+\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{c}{1+c}$

Ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a=1,b=2,c=3$, khi đó $P=\frac{5}{12}$, nên ta sẽ chứng minh $P\geq \frac{5}{12}$

Thật vậy, ta có $P\geq \frac{5}{12}\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{4}-\frac{c}{1+c} \right )+\left ( \frac{b}{1+b}-\frac{2}{3} \right )+(\frac{a}{1+a}-\frac{1}{2})\geq 0\Leftrightarrow \frac{3-c}{4(1+c)}+\frac{b-2}{3(b+1)}+\frac{a-1}{2(a+1)}\geq 0$

Áp dụng phép nhóm Abel, ta có BĐT tương đương với $(3-c)(\frac{1}{4(c+1)}-\frac{1}{3(b+1)})+\left [ (3-c)+(b-2) \right ]\left [ \frac{1}{3(b+1)}-\frac{1}{2(a+1)} \right ]+\left [ (3-c)+(b-2)+(a+1) \right ]\frac{1}{2(a+1)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(3-c)(3b-4c+1)}{12(b+1)(c+1)}+\frac{(b+1-c)(2a-3b-1)}{6(a+1)(b+1)}+\frac{a+b-c}{2(a+1)}\geq 0$

(đúng)

Bài toán đã được chứng minh. 

Bài toán này năm ngoái đã khiến bao nhiêu học sinh giỏi toán phải "chết đứng". Tuy nhiên, nếu chúng ta có kiến thức về phép nhóm Abel thì bài toán này có lẽ chỉ là "dọa trẻ con" thôi mọi người nhỉ  :icon6:  :icon6:      

Do kiến thức hạn hẹp nên mình xin phép chỉ được trình bày đến đây. Hi vọng qua những bài toán trên các bạn đã phần nào hiểu được về phép nhóm Abel cũng như ứng dụng của nó trong việc chứng minh BĐT. 

Sau đây là 1 số ví dụ để mọi người luyện tập. 

Bài toán 1:Với $a,b,c> 0$ thỏa mãn điều kiện $c\geq 2, a+\frac{b}{2}+\frac{3}{c}\geq 3;\frac{b}{2}+c\geq 2; \frac{3}{c}\geq 1$. Tìm GTLN của biểu thức 

$P=c^2-a^2-b^2$

Bài toán 2:Với $a\geq b\geq 1\geq c> 0$, $\frac{2}{b}+c\leq 2$, $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+c\leq 3$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\leq \frac{1}{6}$

Bài toán 3:Với $0< a\leq b\leq c$ là các só thực dương thỏa mãn các điều kiện $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq 3, \frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq 2, \frac{3}{c}\geq 1$. Chứng minh rằng

$a^3+b^3+c^3\leq 36$

Bài toán 4:Với $a\geq 3, a+b\geq 5, a+b+c\geq 6$, chứng minh rằng

$a^2+b^2+c^2\geq 14$

Bài toán 5: (làm mạnh BĐT Chebyshev). Giả sử các số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}$ thoả mãn điều kiện

$a_{1}\geq \frac{a_{1}+a_{2}}{2}\geq ...\geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$

$b_{1}\geq \frac{b_{1}+b_{2}}{2}\geq ...\geq \frac{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n}$

Chứng minh rằng:

$n(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})$

Mong rằng bài viết này của mình sẽ có ích đối với mọi người

Chúc các bạn lớp 9 đạt kết quả tốt trong kì thi vào trường chuyên mà mình mong muốn.

P/S:Mọi người có thể tham khảo thêm tại đây:File gửi kèm  phep nhom abel.pdf   224.51K   3015 Số lần tải


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#4 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 05-06-2013 - 10:02

 

 


Bài toán 4:Với $a\geq 3, a+b\geq 5, a+b+c\geq 6$, chứng minh rằng

$a^2+b^2+c^2\geq 14$

 

 

Bài này có lẽ dễ nhất   :( 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=a.a+b.b+c.c=(a-b).a+(b-c).(a+b)+c.(a+b+c)\geq 3(a-b)+5(b-c)+6c=a+(a+b)+(a+b+c)\geq 3+5+6=14 \Rightarrow đpcm$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#5 Supermath98

Supermath98

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 512 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Toán;Thơ;đá bóng;...

Đã gửi 07-06-2013 - 22:17

Mình vẫn không hiểu! Mình thấy ở trên lý thuyết với bài tập nó khác nhau quá! Ai giải thích dùm mình được không! Bài toán 2 chẳng hạn!


:icon12: :icon12: :icon12: Đừng bao giờ ngồi một chỗ và ước. Hãy đứng dậy và làm:icon12: :icon12: :icon12:

#6 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 08-06-2013 - 01:17

Mình vẫn không hiểu! Mình thấy ở trên lý thuyết với bài tập nó khác nhau quá! Ai giải thích dùm mình được không! Bài toán 2 chẳng hạn!

Bài 2 hình như sai đề rồi ! Phải là $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\leq \frac{-1}{6}$

Cho a = 3, b = 2, c = 1 là thấy ngay !

Viết BĐT đã cho thành (dựa vào điều kiện xảy ra đẳng thức) :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1\leq \frac{1}{c}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$

Đi từ bên phải qua , áp dụng khai triển Abel :

$\frac{1}{c}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1.\frac{1}{c}+\frac{b}{2}.\frac{1}{b}+\frac{a}{3}.\frac{1}{a}=(1-\frac{1}{b}).\frac{1}{c}+(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})(\frac{1}{c}+\frac{b}{2})+\frac{1}{a}(\frac{1}{c}+\frac{b}{2}+\frac{a}{3})\geq (1-\frac{1}{b})+(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}).\frac{4}{c+\frac{2}{b}}+\frac{1}{a}.\frac{9}{c+\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\geq (1-\frac{1}{b})+2(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})+\frac{3}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1$

 

===> ĐPCM  :icon2: xay xẩm mặt mày với cái pp này


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#7 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 08-06-2013 - 10:48

Bài 2 hình như sai đề rồi ! Phải là $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\leq \frac{-1}{6}$

Cho a = 3, b = 2, c = 1 là thấy ngay !

Viết BĐT đã cho thành (dựa vào điều kiện xảy ra đẳng thức) :

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1\leq \frac{1}{c}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$

Đi từ bên phải qua , áp dụng khai triển Abel :

$\frac{1}{c}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1.\frac{1}{c}+\frac{b}{2}.\frac{1}{b}+\frac{a}{3}.\frac{1}{a}=(1-\frac{1}{b}).\frac{1}{c}+(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})(\frac{1}{c}+\frac{b}{2})+\frac{1}{a}(\frac{1}{c}+\frac{b}{2}+\frac{a}{3})\geq (1-\frac{1}{b})+(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}).\frac{4}{c+\frac{2}{b}}+\frac{1}{a}.\frac{9}{c+\frac{2}{b}+\frac{3}{a}}\geq (1-\frac{1}{b})+2(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})+\frac{3}{a}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+1$

 

===> ĐPCM  :icon2: xay xẩm mặt mày với cái pp này

Chính xác tuyệt đối  :like  :lol: 


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#8 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 08-06-2013 - 17:10

vị nào làm bài 3 đi hộ tôi cái

tôi chưa biết cách đổi chiều


tàn lụi


#9 ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Ninh

Đã gửi 09-06-2013 - 00:34

Bài này có lẽ dễ nhất   :( 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=a.a+b.b+c.c=(a-b).a+(b-c).(a+b)+c.(a+b+c)\geq 3(a-b)+5(b-c)+6c=a+(a+b)+(a+b+c)\geq 3+5+6=14 \Rightarrow đpcm$

bạn ko thể có đánh giá đó dc. a-b và b-c chưa biết dấu mà


Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#10 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 09-06-2013 - 11:36

bạn ko thể có đánh giá đó dc. a-b và b-c chưa biết dấu mà

Mình vẫn chưa nhìn ra, bạn chỉ rõ hơn được không ?


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#11 Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSPHN
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 17-06-2013 - 17:48

bạn ko thể có đánh giá đó dc. a-b và b-c chưa biết dấu mà

 

 

Mình vẫn chưa nhìn ra, bạn chỉ rõ hơn được không ?

Ý anh ninhxa là nếu $a-b <0$ thì $(a-b)a<3a$ ấy


"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#12 Strygwyr

Strygwyr

    Sk8er-boi

  • Thành viên
  • 272 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên ĐHSPHN
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 17-06-2013 - 18:10

 

 

Bài toán 5: (làm mạnh BĐT Chebyshev). Giả sử các số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}$ thoả mãn điều kiện

$a_{1}\geq \frac{a_{1}+a_{2}}{2}\geq ...\geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$

$b_{1}\geq \frac{b_{1}+b_{2}}{2}\geq ...\geq \frac{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n}$

Chứng minh rằng:

$n(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})$

 

Chém tạm câu này vậy

Do biểu thức $n(a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n)-(a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)$ luôn có thể biểu diễn được thông qua các số hạng $(a_i-a_j)(b_i-b_j)$ nên ta có thể bớt được ở $2$ dãy ($a_i$) và ($b_i$) một lượng số hạng tương ứng là $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}$ và $\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}$.

Do đó, ta có thể giả sử được :

$a_1+a_2+...+a_n=b_1+b_2+...+b_n$

Đặt $S_k=a_1+a_2+...+a_k$. Theo công thức khai triển $Abel$, ta ó :

$P=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n=(b_1-b_2)S_1+(b_2-b_3)S_2+...+(b_{n-1}-b_n)S_{n-1}+b_nS_n=(b_1-b_2)S_1+2(b_2-b_3)\frac{S_2}{2}+...+(n-1)(b_{n-1}-b_n)\frac{S_{n-1}}{n-1}+nb_n\frac{S_n}{n}$

 

Theo giả thiết thì $S_1\geq\frac{S_2}{2}\geq...\geq\frac{S_n}{n}$ nên sử dụng trực tiếp khai triển $Abel$ cho dãy trên, ta được : 

$P=(S_1-\frac{S_2}{2})(b_1-b_2)+(\frac{S_2}{2}-\frac{S_3}{3})(b_1+b_2-2b_3)+...+(\frac{S_{n-1}}{n-1}-\frac{S_n}{n})(b_1+b_2+...+b_{n-1}-(n-1)b_n)+\frac{S_n}{n}(b_1+b_2+...+b_n)$

Lại theo giả thiết thì $b_1\geq\frac{b_1+b_2}{2}\geq...\geq\frac{b_1+b_2+...+b_n}{n}$ hay $b_1\geq b_2$ ; $b_1+b_2\geq 2b_3$ ;...; $b_1+b_2+...+b_{n-1}\geq (n-1)b_n$

Vậy $P\geq 0$

Mà theo cách giả sử của ta thì ta chỉ cần chứng minh $P\geq 0$. (Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 17-06-2013 - 18:14

"Nothing is impossible"

(Napoleon Bonaparte)


#13 ninhxa

ninhxa

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Bắc Ninh

Đã gửi 17-06-2013 - 23:46

Bài toán 4:Với $a\geq 3, a+b\geq 5, a+b+c\geq 6$, chứng minh rằng

$a^2+b^2+c^2\geq 14$

 

bạn namsub nói đúng rồi đó

bài này có thể làm như sau:

áp dụng bdt cauchy-schwaz ta dc:

$(a^2+b^2+c^2)(3^2+2^2+1^2)\geq (3a+2b+c)^2$

theo phép nhóm abel ta có:

$3a+2b+c=(3-2)a+(2-1)(a+b)+a+b+c\geq 3+5+6=14$

ta có dc dpcm


Thời gian là thứ khi cần thì luôn luôn thiếu.


#14 naruto10459

naruto10459

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 141 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-06-2013 - 13:52

bài toán 2 có sai đề ko vậy,nếu a=1,b=1.c=6 thì đâu có thỏa???



#15 Ha Manh Huu

Ha Manh Huu

    Trung úy

  • Thành viên
  • 799 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:bốn bể là nhà
  • Sở thích:thích mọi thứ

Đã gửi 19-06-2013 - 14:36

bài toán 2 có sai đề ko vậy,nếu a=1,b=1.c=6 thì đâu có thỏa???

ờ nhỉ à chắc bạn ý còn thiếu đk $c\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ha Manh Huu: 19-06-2013 - 14:39

tàn lụi


#16 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 20-06-2013 - 23:22

 

 

Bài toán 3:Với $0< a\leq b\leq c$ là các só thực dương thỏa mãn các điều kiện $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq 3, \frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq 2, \frac{3}{c}\geq 1$. Chứng minh rằng

$a^3+b^3+c^3\leq 36$

 

$36=3^{3}+2^{3}+1^{3}=c^{3}.\frac{3^{3}}{c^{3}}+b^{3}.\frac{2^{3}}{b^{3}}+a^{3}.\frac{1}{a^{2}}=(c^{3}-b^{3}).\frac{3^{3}}{c^{3}}+(b^{3}-a^{3}).(\frac{3^{3}}{c^{3}}+\frac{2^{3}}{b^{3}})+a^{3}(\frac{3^{3}}{c^{3}}+\frac{2^{3}}{c^{3}}+\frac{1^{3}}{a^{3}})=A$

Áp dụng các BĐT : 

$a^{3}+b^{3}\geq \frac{(a+b)^{3}}{4};a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{9}$

Ta có $A\geq (c^{3}-b^{3}).1^{3}+(b^{3}-a^{3}).\frac{(3/c+2/b)^{3}}{4}+a^{3}.\frac{(3/c+2/b+1/a)^{3}}{9}\geq (c^{3}-b^{3}).1+(b^{3}-a^{3}).2+a^{3}.3=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Đây là đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 07-07-2013 - 21:03

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#17 badatmath

badatmath

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Đông Hà-Quảng Trị

Đã gửi 04-09-2013 - 20:32

Ở bài toán 2 sao cái đoạn $(c-b)\frac{3}{c}\geq c-b$ được thế 


:icon12: Hãy xem những vấn đề trong cuộc sống như là một bài toán cực trị :Ta phải tìm được được một cách làm ngắn nhất sao cho tỉ lệ đạt được thành công là Max còn tỉ lệ thất bại là Min :icon12:


#18 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 16-10-2013 - 20:10

 


Trong những kì thi vào chuyên toán, những kì thi HSG thì bất đẳng thức là 1 phần rất khó và được rất nhiều thầy cô giáo cũng như học sinh quan tâm đến. Những năm gần đây thì các kì thi đều có xu hướng không ra những bài BĐT đối xứng nữa, mà thay vào đó là những BĐT với rất nhiều điều kiện cũng như thứ tự giữa các biến. Hôm nay mình xin phép được trình bày về 1 phương pháp giải các dạng BĐT này, đó là phép nhóm Abel 

    1.     PHÉP NHÓM ABEL

 

Cho 2 dãy số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{n}$. Kí hiệu $S_{k}=b_{1}+b_{2}+...+b_{k}$. Khi đó ta có đẳng thức:

 

$a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}=(a_{1}-a_{2})S_{1}+(a_{2}-a_{3})S_{2}+...+(a_{n-1}-a_{n})S_{n-1}+a_{n}S_{n}$

 

2 trường hợp mà chúng ta hay dùng nhất là

 

·         $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}=(a_{1}-a_{2})b_{1}+a_{2}(b_{1}+b_{2})$

 

 

·         $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=(a_{1}-a_{2})b_{1}+(a_{2}-a_{3})(b_{1}+b_{2})+a_{3}(b_{1}+b_{2}+b_{3})$

 

 

      2. CÁC BÀI TOÁN

Bài toán 1:Với $\alpha \geq \beta \geq \gamma > 0$; $a\geq \alpha , ab\geq \alpha \beta , abc\geq \alpha \beta \gamma$. Chứng minh rằng :

 

 

$a+b+c\geq \alpha +\beta +\gamma$

 

 

Giải

 

Sử dụng phép nhóm Abel ta có $a+b+c=\gamma (\frac{a}{\alpha }+\frac{b}{\beta }+\frac{c}{\gamma })+(\beta -\gamma )\left ( \frac{a}{\alpha }+\frac{b}{\beta } \right )+\left ( \alpha -\beta \right )\frac{a}{\alpha }\geq 3\gamma \sqrt[3]{\frac{abc}{\alpha \beta \gamma }}+2(\beta -\gamma )\sqrt{\frac{ab}{\alpha \beta }}+(\alpha -\beta )\frac{a}{\alpha }\geq 3\gamma +2(\beta -\gamma )+\left ( \alpha -\beta \right )=\alpha +\beta +\gamma$

 

(đpcm)

 

Bài toán 2:Với $0< a\leq b\leq c, bc\leq 6, abc\leq 6$. Chứng minh rằng:

 

 

$a+b+c\leq 6$

 

 

Giải

 

Ta có $6=1+2+3=a(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(b-a)(\frac{2}{b}+\frac{3}{c})+(c-b)\frac{3}{c}\Rightarrow 6\geq 3a\sqrt[3]{\frac{6}{abc}}+2(b-a)\sqrt{\frac{6}{bc}}+(c-b)\frac{3}{c}\geq a+b+c$

 

(đpcm)

 

Từ những ví dụ trên, ta có thể rút ra phương pháp giải cho những BĐT dạng này

 

Bước 1:Xác định dấu đẳng thức xảy ra khi nào bằng cách chuyển các điều kiện đã cho thành đẳng thức

 

Bước 2:Viết lại đẳng thức cần chứng minh dưới dạng đối xứng 2 vế

 

Bước 3:Áp dụng phép nhóm Abel cho 1 vế của 1 BĐT theo điều kiện thứ tự

 

 

Dưới đây là 1 số ví dụ minh họa

 

 

Bài toán 3:Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $a\geq b\geq 1, a\leq 3, ab\leq 6, ab\leq 6c$. Chứng minh rằng:

 

 

$a+b-c\leq 4$

 

 

Giải

 

Bằng cách chuyển tất cả những điều kiện đã cho thành đẳng thức, ta dự đoán dấu bằng sẽ xảy ra khi $a=3,b=2,c=1$. Do đó ta sẽ viết BĐT cần chứng minh dưới dạng:

 

$a+b+1\leq 3+2+c$

 

Áp dụng phép nhóm Abel, ta có $3+2+c=(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{c}{1})+(b-1)\left ( \frac{3}{a}+\frac{2}{b} \right )+\frac{3}{a}(a-b)\geq 3\sqrt[3]{\frac{6c}{ab}}+2(b-1)\sqrt{\frac{6}{ab}}+(a-b)=a+b+1$

 

(đpcm)

 

Bài toán 4:Với $a,b,c> 0, \frac{b}{2}+c\leq 2, \frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\leq 3, c\leq 1$, chứng minh rằng:

 

 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{11}{6}$

Giải

 

 

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{3}(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c})+\left ( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right )\left ( \frac{2}{b}+\frac{1}{c} \right )+\left ( 1-\frac{1}{2} \right )\frac{1}{c}\geq \frac{1}{3}.\frac{9}{\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c}+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}).\frac{4}{\frac{b}{2}+c}+\left ( 1-\frac{1}{2} \right ).\frac{1}{c}\geq \frac{1}{3}.3+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}).2+\left ( 1-\frac{1}{2} \right )=\frac{11}{6}$ 

 

(đpcm)

 

Bài toán 5:Cho $0< x< y\leq z\leq 1$ và $3x+2y+z=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

 

 

$P=3x^2+2y^2+z^2$

 

 

(Đề thi HSG toán lớp 9 thành phố HCM năm 2007)

 

Giải

 

Áp dụng phép nhóm Abel kết hợp với giả thiết, ta có:

 

$P=z.z+2y.y+3x.x=z(z-y)+(z+2y)(y-x)+x(x+2y+3z)\leq (z-y)+(1+2)(y-x)+4x=z+2y+x=\frac{1}{3}(3z+2.3.y+3.x)= \frac{1}{3}\left [ z(3-3)+(z+2y)(3-1)+z+2y+3x \right ]=\frac{1}{3}\left [ 2(z+2y)+x+2y+3z \right ]\leq \frac{10}{3}$

 

(đpcm)

 

(Bài toán này còn 1 cách sử dụng BĐT C-S, các bạn có thể tham khảo tại đây:http://diendantoanho...6540-t3x22y2z2/)

 

Bài toán 6:Với $a,b$ là các số thực dương thỏa mãn $a\leq b\leq 3,a+b\leq 5$, tìm GTLN của biểu thức:

 

 

$P=a^2(a+1)+b^2(b+1)$

 

 

(Đề thi thử Toán chung trường THPT chuyên  KHTN năm 2012)

 

Giải

 

Ta sẽ chứng minh $P=a^2+a^3+b^2+b^3\leq 2^2+2^3+3^2+3^3\Leftrightarrow (3^3-b^3)+(3^3-b^2)+(2^3-a^3)+(2^2-b^2)\geq 0\Leftrightarrow (3-b)(b^2+3b+9)+(2-a)(a^2+2a+4)+(3-b)(3+b)+(2-a)(2+a)\geq 0\Leftrightarrow (3-b)\left [ (b^2+3b+9)-(a^2+2a+4) \right ]+(3-b)\left [ (3+b)-(2+a) \right ]+\left [ 5-(a+b) \right ](a^2+2a+4)+\left [ 5-(a+b) \right ](a+2)\geq 0$

 

(đúng)

Bài toán 7:Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=9$, $x\geq 5, x+y\geq 8$. Chứng minh rằng:

$xyz\leq 15$

(Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Hải Dương năm 2008-2009)

Giải

Phản chứng, giả sử $xyz> 15$. Ta có $z=9-x-y\leq 1\Rightarrow xy> \frac{15}{z}\geq 15$

Áp dụng phép nhóm Abel và BĐT AM-GM, ta có:

$x+y+z=\frac{x}{5}.5+\frac{y}{3}.3+z.1=2\frac{x}{5}+2(\frac{x}{5}+\frac{y}{3})+(\frac{x}{5}+\frac{y}{3}+z)\geq 2.\frac{x}{5}+4\sqrt{\frac{xy}{15}}+3\sqrt[3]{\frac{xyz}{15}}> 2+4+3=9$

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy $xyz\leq 15$

Bài toán 8:Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a\leq b\leq 3\leq c$, $c\geq b+1, a+b\geq c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

 

 

$P=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

 

 

(Đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên KHTN năm 2012)

 

Giải

 

Trước tiên ta sẽ thu gọn biểu thức đang rất cồng kềnh

 

$P=\frac{1}{1+c}+\frac{ab+abc-c-1}{(a+1)(b+1)(c+1)}=\frac{1}{1+c}+\left [ \frac{ab-1}{(1+a)(1+b)}+1 \right ]-1=\frac{1}{1+c}-1+\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}-\frac{c}{1+c}$

 

Ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi $a=1,b=2,c=3$, khi đó $P=\frac{5}{12}$, nên ta sẽ chứng minh $P\geq \frac{5}{12}$

 

Thật vậy, ta có $P\geq \frac{5}{12}\Leftrightarrow \left ( \frac{3}{4}-\frac{c}{1+c} \right )+\left ( \frac{b}{1+b}-\frac{2}{3} \right )+(\frac{a}{1+a}-\frac{1}{2})\geq 0\Leftrightarrow \frac{3-c}{4(1+c)}+\frac{b-2}{3(b+1)}+\frac{a-1}{2(a+1)}\geq 0$

 

Áp dụng phép nhóm Abel, ta có BĐT tương đương với $(3-c)(\frac{1}{4(c+1)}-\frac{1}{3(b+1)})+\left [ (3-c)+(b-2) \right ]\left [ \frac{1}{3(b+1)}-\frac{1}{2(a+1)} \right ]+\left [ (3-c)+(b-2)+(a+1) \right ]\frac{1}{2(a+1)}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(3-c)(3b-4c+1)}{12(b+1)(c+1)}+\frac{(b+1-c)(2a-3b-1)}{6(a+1)(b+1)}+\frac{a+b-c}{2(a+1)}\geq 0$

(đúng)

 

Bài toán đã được chứng minh. 

 

Bài toán này năm ngoái đã khiến bao nhiêu học sinh giỏi toán phải "chết đứng". Tuy nhiên, nếu chúng ta có kiến thức về phép nhóm Abel thì bài toán này có lẽ chỉ là "dọa trẻ con" thôi mọi người nhỉ  :icon6:  :icon6:      

Do kiến thức hạn hẹp nên mình xin phép chỉ được trình bày đến đây. Hi vọng qua những bài toán trên các bạn đã phần nào hiểu được về phép nhóm Abel cũng như ứng dụng của nó trong việc chứng minh BĐT. 

Sau đây là 1 số ví dụ để mọi người luyện tập. 

Bài toán 1:Với $a,b,c> 0$ thỏa mãn điều kiện $c\geq 2, a+\frac{b}{2}+\frac{3}{c}\geq 3;\frac{b}{2}+c\geq 2; \frac{3}{c}\geq 1$. Tìm GTLN của biểu thức 

 

 

$P=c^2-a^2-b^2$

 

 

Bài toán 2:Với $a\geq b\geq 1\geq c> 0$, $\frac{2}{b}+c\leq 2$, $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+c\leq 3$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\leq \frac{1}{6}$

Bài toán 3:Với $0< a\leq b\leq c$ là các só thực dương thỏa mãn các điều kiện $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq 3, \frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq 2, \frac{3}{c}\geq 1$. Chứng minh rằng

$a^3+b^3+c^3\leq 36$

Bài toán 4:Với $a\geq 3, a+b\geq 5, a+b+c\geq 6$, chứng minh rằng

$a^2+b^2+c^2\geq 14$

Bài toán 5: (làm mạnh BĐT Chebyshev). Giả sử các số thực $a_{1},a_{2},...,a_{n},b_{1},b_{2},...,b_{n}$ thoả mãn điều kiện

$a_{1}\geq \frac{a_{1}+a_{2}}{2}\geq ...\geq \frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}$

$b_{1}\geq \frac{b_{1}+b_{2}}{2}\geq ...\geq \frac{b_{1}+b_{2}+...+b_{n}}{n}$

Chứng minh rằng:

$n(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{n})(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})$

Mong rằng bài viết này của mình sẽ có ích đối với mọi người

Chúc các bạn lớp 9 đạt kết quả tốt trong kì thi vào trường chuyên mà mình mong muốn.

P/S:Mọi người có thể tham khảo thêm tại đây:attachicon.gifphep nhom abel.pdf

 

Khó hiểu quá bạn ơi, bạn có thể giải thích cách sử dụng abel bài một được không ? ;v



#19 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Điều hành viên Đại học
  • 612 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 17-10-2013 - 19:03

Khó hiểu quá bạn ơi, bạn có thể giải thích cách sử dụng abel bài một được không ? ;v

Anh giải thích ở bên trên rồi còn gì o.O. Ngoài ra thì có 1 số bài phải tự suy nghĩ chứ :D. Thế mới là toán học :D


$\sum_{P} I(P, F\cap G)=mn$

 

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#20 nghiemthanhbach

nghiemthanhbach

    $\sqrt{MF}'s\;friend$

  • Thành viên
  • 1056 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK
  • Sở thích:Ai chơi lmht không :)

Đã gửi 17-10-2013 - 20:13

Anh giải thích ở bên trên rồi còn gì o.O. Ngoài ra thì có 1 số bài phải tự suy nghĩ chứ :D. Thế mới là toán học :D

bạn ơi mình thấy bài 1 sử dụng abel đâu có giống lý thuyết, tại sao lại có phân số? Help với






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh