Đến nội dung

Hình ảnh

[Giới hạn] Sai lầm ở đâu?

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01-11-2012 - 10:28

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#2
tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
hiển nhiên với x nhỏ thì sinx gần bằng x tính theo rad chứ còn arc sin gần bằng x thì mình chưa thấy. bạn xem lại nha. chúc bạn thành công

#3
duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

theo mình thì khi $\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx}{x^3}$ và $\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x^3}$ hữu hạn ta mới có thể tách $\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx-arctanx}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx}{x^3}-\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x^3}$ được.Trong khi ở đây lại là 2 giới hạn vô hạn.
Đó là ý kiến của mình :icon6:
FC.Fruit

#4
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

hiển nhiên với x nhỏ thì sinx gần bằng x tính theo rad chứ còn arc sin gần bằng x thì mình chưa thấy. bạn xem lại nha. chúc bạn thành công

Đây là giới hạn tương đương bạn ạ. Điều này ghi rõ trong các giáo trình Toán cao cấp.
Mọi người cho ý kiến thêm nhé!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#5
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
$(\infty - \infty = 0)$ ???
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Biểu thức cuối cùng vẫn còn ở dạng vô định vì thế lời giải trở thành bế tắc

Cách hiệu quả nhất là dùng quy tắc $L'Hospital$

$A=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x - \arctan x}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+1-\sqrt{1-x^2}}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}$
Giờ thì nhân liên hợp
$A=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x^4+2x^2+1)-(1-x^2)}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})} = \quad\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+3}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{1.1.2}=\dfrac{1}{2}$

#6
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Biểu thức cuối cùng vẫn còn ở dạng vô định vì thế lời giải trở thành bế tắc

Cách hiệu quả nhất là dùng quy tắc $L'Hospital$

$A=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x - \arctan x}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+1-\sqrt{1-x^2}}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}$
Giờ thì nhân liên hợp
$A=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x^4+2x^2+1)-(1-x^2)}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})} = \quad\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+3}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{1.1.2}=\dfrac{1}{2}$

Thầy ơi em thắc mắc chút. Biểu thức cuối cùng ở dạng vô dịnh nhưng rõ ràng : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0$

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#7
quoctruong1202

quoctruong1202

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết

Thầy ơi em thắc mắc chút. Biểu thức cuối cùng ở dạng vô dịnh nhưng rõ ràng : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0$

Hai số hoặc hai biểu thức bằng nhau thì trừ đi bằng 0 nhưng theo mình nghĩ giới hạn lại không có 1 ĐN như vậy!
Hình đã gửi

#8
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Lời giải sai từ phép biến đổi đầu tiên
Làm gì có chuyện $\dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}-\dfrac{0}{0}$
Các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, ... trên giới hạn chỉ có hiệu lực khi các thành phần đó có giới hạn (hữu hạn) và không ở dạng vô định.

#9
vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết

Lời giải sai từ phép biến đổi đầu tiên
Làm gì có chuyện $\dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}-\dfrac{0}{0}$
Các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, ... trên giới hạn chỉ có hiệu lực khi các thành phần đó có giới hạn (hữu hạn) và không ở dạng vô định.

Em quên mất kiến thức cơ bản. Nguy hiểm quá. Cảm ơn thầy nhiều :D

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#10
Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
Nhận xét của thầy Thanh là đúng rồi. Ngoài cách giải trên, em xin bổ sung thêm cách khác như sau (không dùng quy tắc L'Hospital)

Ta có: \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{{x^3}}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{{x^3}}}\,\,\,\,\,\left(\text{do}\,\,\,\, {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}} = 1} \right)\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^3}}}\left( {\frac{{\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - x}}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{{1 - \sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {{x^2} + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}} = \frac{1}{2}\]




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh