Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

[Giới hạn] Sai lầm ở đâu?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 01-11-2012 - 10:27

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vietfrog: 01-11-2012 - 10:28

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#2 tramyvodoi

tramyvodoi

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1044 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hồ Chí Minh
  • Sở thích:dota, học toán

Đã gửi 01-11-2012 - 12:57

hiển nhiên với x nhỏ thì sinx gần bằng x tính theo rad chứ còn arc sin gần bằng x thì mình chưa thấy. bạn xem lại nha. chúc bạn thành công

#3 duongvanhehe

duongvanhehe

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:tất nhiên là ở Việt Nam rồi

Đã gửi 01-11-2012 - 22:35

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

theo mình thì khi $\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx}{x^3}$ và $\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x^3}$ hữu hạn ta mới có thể tách $\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx-arctanx}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx}{x^3}-\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x^3}$ được.Trong khi ở đây lại là 2 giới hạn vô hạn.
Đó là ý kiến của mình :icon6:
FC.Fruit

#4 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 01-11-2012 - 22:40

hiển nhiên với x nhỏ thì sinx gần bằng x tính theo rad chứ còn arc sin gần bằng x thì mình chưa thấy. bạn xem lại nha. chúc bạn thành công

Đây là giới hạn tương đương bạn ạ. Điều này ghi rõ trong các giáo trình Toán cao cấp.
Mọi người cho ý kiến thêm nhé!

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#5 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-11-2012 - 23:18

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
$(\infty - \infty = 0)$ ???
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Biểu thức cuối cùng vẫn còn ở dạng vô định vì thế lời giải trở thành bế tắc

Cách hiệu quả nhất là dùng quy tắc $L'Hospital$

$A=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x - \arctan x}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+1-\sqrt{1-x^2}}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}$
Giờ thì nhân liên hợp
$A=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x^4+2x^2+1)-(1-x^2)}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})} = \quad\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+3}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{1.1.2}=\dfrac{1}{2}$
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#6 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 02-11-2012 - 09:02

Biểu thức cuối cùng vẫn còn ở dạng vô định vì thế lời giải trở thành bế tắc

Cách hiệu quả nhất là dùng quy tắc $L'Hospital$

$A=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x - \arctan x}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+1-\sqrt{1-x^2}}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}$
Giờ thì nhân liên hợp
$A=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x^4+2x^2+1)-(1-x^2)}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})} = \quad\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+3}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{1.1.2}=\dfrac{1}{2}$

Thầy ơi em thắc mắc chút. Biểu thức cuối cùng ở dạng vô dịnh nhưng rõ ràng : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0$

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#7 quoctruong1202

quoctruong1202

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 129 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tha phương

Đã gửi 02-11-2012 - 09:36

Thầy ơi em thắc mắc chút. Biểu thức cuối cùng ở dạng vô dịnh nhưng rõ ràng : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0$

Hai số hoặc hai biểu thức bằng nhau thì trừ đi bằng 0 nhưng theo mình nghĩ giới hạn lại không có 1 ĐN như vậy!
Hình đã gửi

#8 hxthanh

hxthanh

  • Thành viên
  • 3327 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-11-2012 - 13:09

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Lời giải sai từ phép biến đổi đầu tiên
Làm gì có chuyện $\dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}-\dfrac{0}{0}$
Các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, ... trên giới hạn chỉ có hiệu lực khi các thành phần đó có giới hạn (hữu hạn) và không ở dạng vô định.
Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

#9 vietfrog

vietfrog

    Trung úy

  • Hiệp sỹ
  • 947 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kẻ Sặt_ Hải Dương
  • Sở thích:Kìa chú là chú ếch con có hai là hai mắt tròn....

Đã gửi 02-11-2012 - 20:09

Lời giải sai từ phép biến đổi đầu tiên
Làm gì có chuyện $\dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}-\dfrac{0}{0}$
Các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, ... trên giới hạn chỉ có hiệu lực khi các thành phần đó có giới hạn (hữu hạn) và không ở dạng vô định.

Em quên mất kiến thức cơ bản. Nguy hiểm quá. Cảm ơn thầy nhiều :D

Sống trên đời

Cần có một tấm lòng

Để làm gì em biết không?

Để gió cuốn đi...

Chủ đề:BĐT phụ

HOT: CÁCH VẼ HÌNH


#10 Crystal

Crystal

    ANGRY BIRDS

  • Hiệp sỹ
  • 5534 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 02-11-2012 - 22:50

Nhận xét của thầy Thanh là đúng rồi. Ngoài cách giải trên, em xin bổ sung thêm cách khác như sau (không dùng quy tắc L'Hospital)

Ta có: \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{{x^3}}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{{x^3}}}\,\,\,\,\,\left(\text{do}\,\,\,\, {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}} = 1} \right)\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^3}}}\left( {\frac{{\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - x}}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{{1 - \sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {{x^2} + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}} = \frac{1}{2}\]




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh