9 replies to this topic

[vietfrog]

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Edited by vietfrog, 01-11-2012 - 10:28.

[tramyvodoi]

hiển nhiên với x nhỏ thì sinx gần bằng x tính theo rad chứ còn arc sin gần bằng x thì mình chưa thấy. bạn xem lại nha. chúc bạn thành công

[duongvanhehe]

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

theo mình thì khi $\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx}{x^3}$ và $\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x^3}$ hữu hạn ta mới có thể tách $\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx-arctanx}{x^3}=\lim_{x\to 0}\frac{arcsinx}{x^3}-\lim_{x\to 0}\frac{arctanx}{x^3}$ được.Trong khi ở đây lại là 2 giới hạn vô hạn.
Đó là ý kiến của mình

[vietfrog]

hiển nhiên với x nhỏ thì sinx gần bằng x tính theo rad chứ còn arc sin gần bằng x thì mình chưa thấy. bạn xem lại nha. chúc bạn thành công

Đây là giới hạn tương đương bạn ạ. Điều này ghi rõ trong các giáo trình Toán cao cấp.
Mọi người cho ý kiến thêm nhé!

[hxthanh]

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
$(\infty - \infty = 0)$ ???
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Biểu thức cuối cùng vẫn còn ở dạng vô định vì thế lời giải trở thành bế tắc

Cách hiệu quả nhất là dùng quy tắc $L'Hospital$

$A=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x - \arctan x}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+1-\sqrt{1-x^2}}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}$
Giờ thì nhân liên hợp
$A=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x^4+2x^2+1)-(1-x^2)}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})} = \quad\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+3}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{1.1.2}=\dfrac{1}{2}$

[vietfrog]

Biểu thức cuối cùng vẫn còn ở dạng vô định vì thế lời giải trở thành bế tắc

Cách hiệu quả nhất là dùng quy tắc $L'Hospital$

$A=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\arcsin x - \arctan x}{x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{1+x^2}}{3x^2}=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+1-\sqrt{1-x^2}}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}}$
Giờ thì nhân liên hợp
$A=\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x^4+2x^2+1)-(1-x^2)}{x^2(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})} = \quad\dfrac{1}{3}\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x^2+3}{(x^2+1)\sqrt{1-x^2}(x^2+1+\sqrt{1-x^2})}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{1.1.2}=\dfrac{1}{2}$

Thầy ơi em thắc mắc chút. Biểu thức cuối cùng ở dạng vô dịnh nhưng rõ ràng : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0$

[quoctruong1202]

Thầy ơi em thắc mắc chút. Biểu thức cuối cùng ở dạng vô dịnh nhưng rõ ràng : $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0$

Hai số hoặc hai biểu thức bằng nhau thì trừ đi bằng 0 nhưng theo mình nghĩ giới hạn lại không có 1 ĐN như vậy!

[hxthanh]

Tính: $
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }}
$
Lời giải
Khi $x \to 0$ ta luôn có các giới hạn tương đương: $arc\sin x \sim x,\arctan x \sim x$
Áp dụng ta có:

\[
I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x}}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arctan x}}{{x^3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{x^3 }} = 0
\]
Lời giải trên đã sai. Nhưng sai ở đâu, mong mọi người giải đáp giúp mình. Cảm ơn rất nhiều.

Lời giải sai từ phép biến đổi đầu tiên
Làm gì có chuyện $\dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}-\dfrac{0}{0}$
Các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, ... trên giới hạn chỉ có hiệu lực khi các thành phần đó có giới hạn (hữu hạn) và không ở dạng vô định.

[vietfrog]

Lời giải sai từ phép biến đổi đầu tiên
Làm gì có chuyện $\dfrac{0}{0}=\dfrac{0}{0}-\dfrac{0}{0}$
Các phép toán tổng, hiệu, tích, thương, ... trên giới hạn chỉ có hiệu lực khi các thành phần đó có giới hạn (hữu hạn) và không ở dạng vô định.

Em quên mất kiến thức cơ bản. Nguy hiểm quá. Cảm ơn thầy nhiều

[Crystal]

Nhận xét của thầy Thanh là đúng rồi. Ngoài cách giải trên, em xin bổ sung thêm cách khác như sau (không dùng quy tắc L'Hospital)

Ta có: \[I = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\arcsin x - \arctan x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{{x^3}}}\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{{x^3}}}\,\,\,\,\,\left(\text{do}\,\,\,\, {\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}}{{\tan \left( {\arcsin x - \arctan x} \right)}} = 1} \right)\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^3}}}\left( {\frac{{\frac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} - x}}{{1 + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}}\left( {\frac{{1 - \sqrt {1 - {x^2}} }}{{{x^2} + \sqrt {1 - {x^2}} }}} \right)\]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left( {{x^2} + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}} = \frac{1}{2}\]