Bài toán 1
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:
$ab(x-a)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ac(x-a)(x-c)=0$
Bài toán 2
Cho $m>0$ và $\frac{a}{m+2}+\frac{b}{m+1}+\frac{c}{m+1}=0$
Chứng minh phương trình:
$ax^2+bx+c=0$
luôn có nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$
Đặt $\ f(x)=a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)$
Ta có $f(x)$ liên tục trên $R$
Mà :
$f(a)=a(a-b)(a-c)$
$f(b)=b(b-c)(b-a)=-b(b-c)(a-b)$
$f © =c(c-a)(c-b)=c(a-c)(b-c)$
$f(0)=3abc$
$\Rightarrow f(a)f(b).f©.f(0)=-3a^2b^2c^2(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 < 0$
$\Rightarrow$ trong bốn số $f(a) ; f(b) ; f© ; f(0)$ phải có hai số mà tích của chúng bé hơn hay bằng 0
Suy ra phương trình $f(x)=0$ luôn luôn có nghiệmNguồn: http://diendan.hocmai.vn