Do vai trò của các góc là như nhau nên ta có thể giả sử $A = Max (A,B,C) \Rightarrow A \geq \frac{\pi}{3}$
Ta chứng minh $\frac{\sin A+2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}}{\cos A + 2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}\geq \frac{\sin A + 2\cos \frac{A}{2}}{\cos A + 2\sin \frac{A}{2}}$
$\Leftrightarrow 2 \cos \frac{B-C}{2}(\cos A\cos \frac{A}{2} - \sin A\sin \frac{A}{2}) + 2\left (\sin A \sin \frac{A}{2} - \cos A\cos \frac{A}{2}\right )\geq 0$
$\Leftrightarrow \cos\frac{3A}{2}(\cos \frac{B - C}{2} -1) \geq 0$
$\Leftrightarrow \cos\frac{3A}{2} \leq 0$ (luôn đúng)
Từ đó ta có $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{\cos A + \cos B + \cos C} \geq \frac{\sin A + 2\cos \frac{A}{2}}{\cos A + 2\sin \frac{A}{2}}$ với $\frac{\pi}{3} \leq A \leq \frac{\pi}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 05-12-2012 - 18:00