Đến nội dung

Hình ảnh

Giải phương trình nghiệm nguyên $(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Giải phương trình nghiệm nguyên $$(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$$

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên $$(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$$

x=0
$x\geq 1$ thì 2 cái tích có 1 cái chắn, 1 cái lẻ. Từ đó ta chỉ cần tìm a.b=105 sao cho a chẵn b lẻ rồi giải hệ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 03-11-2012 - 15:43


#3
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên $$(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$$

Giải như sau:
Đặt $2x+5y+1=k \Rightarrow y=\dfrac{k-1-2x}{5}$
Khi ấy $k|105$ và $2^{|x|}+y+x+x^2=\dfrac{105}{k}$
Suy ra $2^{|x|}+\dfrac{k-1-2x}{5}+x+x^2=\dfrac{105}{k}$
Hay $2^{|x|}.5.k+(k-1-2x)k+(5x^2+5x)k=525 \Rightarrow (2^{|x|}.5-1).k+k^2+k(5x^2+3x)=525$
Do đó $k^2+k(5x^2+3x+2^{|x|}.5-1)-525=0$
Khi ấy $\Delta_k$ phải là số chính phương hay $(5x^2+3x+2^{|x|}.5-1)^2-2100$ phải là số chính phương
Do đó $\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2100=s^2$
Ta thấy $2^{|x|}.5-1-\dfrac{9}{20}>0$ do đó $5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1>0$ $(1)$
Như vậy nên $s^2<\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2$
Từ $(1)$ suy ra $s<5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1$
Giờ ta lại xét $\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1-1\right)^2=\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1)+1$
Vì nếu $s>5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1-1$ khi đó $s$ bị kẹp giữa hai số tự nhiên liên tiếp, loại
Do đó $s\le 5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1-1$
Như vậy $s^2\le \left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1)+1$
Hay $\left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2100\le \left(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\right)^2-2(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1)+1$
Do đó $2(5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1)\le 2101$
Hay $5\left(x+\dfrac{3}{10}\right)^2-\dfrac{9}{20}+2^{|x|}.5-1\le 1050$
Như vậy $2^{|x|}.5\le 1051+\dfrac{9}{20} \Rightarrow 2^{|x|}.5<1052 \Rightarrow 2^{|x|}\le 2^7 \Rightarrow |x| \le 7$
Do đó $-7\le x\le 7$ nên đã dễ giải, trên đây là cách giải khá phức tạp, dùng cho bài toán tổng quát kiểu này, còn nếu làm thì nên làm như bạn henry0905

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 03-11-2012 - 16:09


#4
rohupt

rohupt

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Giải phương trình nghiệm nguyên $$(2x+5y+1) \left(2^{|x|}+y+x+x^2 \right)=105$$

 

x=0
$x\geq 1$ thì 2 cái tích có 1 cái chắn, 1 cái lẻ. Từ đó ta chỉ cần tìm a.b=105 sao cho a chẵn b lẻ rồi giải hệ.

$ab=105$ thì làm sao có $a$ chẵn $b$ lẻ được hả anh?

Chi tiết như sau:

Từ phương trình có $2x+5y+1$ và $2^{|x|}+y+x+x^2$ đều là ước của 105 nên đều lẻ.

$+)\;\;$ $x=0$ thì y chẵn và $(5y+1)(y+1)=105$ nên mà $5y+1$ chia 5 dư 1 nên thuộc ${1;21}$ tìm được $y=4$ tmđb.

$+)\;\;$ $x \neq 0$ thì $2^x$ chẵn nên $5y+1$ lẻ nên $y$ chẵn. Lại có $x^2+x=x(x+1)$ chẵn nên $y$ lẻ, mâu thuẫn. Loại.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là $(x;y)=(0;4).$


"Sông Nghi, đàn Vũ ta về,

Núi Côn, ta đến cận kề người xưa

Nhà tranh một mái che mưa

Mượn nghề cày cuốc sớm trưa ta làm

Rượu đào nâng chén rót tràn,

Vui say, một khúc sáo đàn ngâm nga..."

Thi-tân





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh